Calcule:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7} \;-\;\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{10}.
O conteúdo aqui é aplicação da forma exponencial de números complexos (teorema de De Moivre). Vamos reescrever cada base na forma e^{i\theta}, elevar à potência e depois voltar à forma cartesiana.

Passo 2

Analisando o primeiro termo, note que
\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}} =\cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =e^{-i\pi/4}.
Aplicando o expoente 7:
\bigl(e^{-i\pi/4}\bigr)^{7} =e^{-i7\pi/4} =e^{i\pi/4} =\cos\!\tfrac{\pi}{4}+i\sin\!\tfrac{\pi}{4} =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Para o segundo termo, escrevemos
-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} =\cos\!\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\!\tfrac{3\pi}{4} =e^{i3\pi/4}.
Elevando à décima potência:
\bigl(e^{i3\pi/4}\bigr)^{10} =e^{i30\pi/4} =e^{i(15\pi/2)} =e^{i(7\pi+\pi/2)} =e^{i7\pi}\,e^{i\pi/2} =(-1)^{7}\,i =-i.

Passo 4

Subtraindo os resultados obtidos:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\;-\;(-i) =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}+i =\frac{1}{\sqrt{2}}+i\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\Bigr).

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}}+i\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\Bigr).

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