Calcule:
\frac{i^{20} \cdot\left(i^{2}\right)^{4}}{3 \cdot i^{134}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{i^{20}\cdot\left(i^{2}\right)^{4}}{3\cdot i^{134}}.
Informações dadas: os expoentes de i são 20, 2 (dentro de uma potência elevada a 4) e 134. A resposta esperada é um número (possivelmente complexo) simplificado.

Passo 2

Primeiro conceito importante: a unidade imaginária i satisfaz i^{2}=-1. A partir disso os poderes de i formam um ciclo de período 4. Ou seja, as potências repetem a cada 4:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,
e então i^{4+k}=i^{k} para todo inteiro k. Esse é o truque básico para simplificar grandes expoentes de i.

Passo 3

Segunda ferramenta: regras de potências que vamos usar (tudo válido para base i):
(a^b)^c = a^{bc},\qquad a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.

Passo 4

Calcule \left(i^{2}\right)^{4} usando (a^b)^c=a^{bc}:
\left(i^{2}\right)^{4}=i^{2\cdot 4}=i^{8}.
Agora reduzo i^{8} usando o ciclo de período 4. Como 8=4\cdot 2,
i^{8}=(i^{4})^{2}=1^{2}=1.
Então \left(i^{2}\right)^{4}=1.

Passo 5

Calcule i^{20}. Note que 20=4\cdot 5, logo
i^{20}=(i^{4})^{5}=1^{5}=1.
Então i^{20}=1.

Passo 6

Agora calculo o numerador usando os resultados anteriores:
i^{20}\cdot\left(i^{2}\right)^{4}=1\cdot 1=1.

Passo 7

Preciso simplificar i^{134} no denominador. Reduzimos o expoente módulo 4 porque o ciclo tem período 4. Dividindo 134 por 4:
134=4\cdot 33 + 2.
Portanto
i^{134}=i^{4\cdot 33 + 2}=(i^{4})^{33}\cdot i^{2}=1^{33}\cdot i^{2}=i^{2}=-1.

Passo 8

Agora o denominador 3\cdot i^{134} fica
3\cdot i^{134}=3\cdot(-1)=-3.

Passo 9

Finalmente, a fração inteira é
\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.
Como resultado obtemos um número real (negativo).

Passo 10

Checagem rápida alternativa (opcional): poderíamos ter somado expoentes no numerador primeiro: i^{20}\cdot i^{8}=i^{28}, e então dividido por i^{134} dando i^{28-134}=i^{-106}. Reduzindo -106 módulo 4 obtemos o mesmo resultado i^{-106}=i^{2}=-1 até um sinal, e a conta leva ao mesmo -\tfrac{1}{3}. Isso confirma que está correto.

Resposta

-\frac{1}{3}

Exercícios relacionados