Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da expressão
Informações dadas: os expoentes de
são
,
(dentro de uma potência elevada a
) e
. A resposta esperada é um número (possivelmente complexo) simplificado.
Passo 2
Primeiro conceito importante: a unidade imaginária
satisfaz
. A partir disso os poderes de
formam um ciclo de período
. Ou seja, as potências repetem a cada
:
e então
para todo inteiro
. Esse é o truque básico para simplificar grandes expoentes de
.
Passo 3
Segunda ferramenta: regras de potências que vamos usar (tudo válido para base
):
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.
Passo 4
Calcule
usando
:
Agora reduzo
usando o ciclo de período
. Como
,
Então
.
Passo 5
Calcule
. Note que
, logo
Então
.
Passo 6
Agora calculo o numerador usando os resultados anteriores:
Passo 7
Preciso simplificar
no denominador. Reduzimos o expoente módulo
porque o ciclo tem período
. Dividindo
por
:
Portanto
Passo 8
Agora o denominador
fica
Passo 9
Finalmente, a fração inteira é
Como resultado obtemos um número real (negativo).
Passo 10
Checagem rápida alternativa (opcional): poderíamos ter somado expoentes no numerador primeiro:
, e então dividido por
dando
. Reduzindo
módulo
obtemos o mesmo resultado
até um sinal, e a conta leva ao mesmo
. Isso confirma que está correto.