Resolver as equações:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
.\n
Informações dadas: a equação é quadrática em e o termo constante é
. A incógnita é
. A tarefa é encontrar todos os valores (reais ou complexos) de
que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas: a equação é quadrática em
Passo 2
Isolamos o termo com
para obter
sozinho. Subtraindo
dos dois lados da equação temos:
Isso significa que estamos procurando números cujo quadrado é
.
Passo 3
Observação importante sobre números reais: nenhum número real elevado ao quadrado dá um número negativo. Ou seja, não existe
tal que
. Então a equação não tem soluções reais. \n
Para resolver equações como essa, usamos os números complexos e a unidade imaginária.
Para resolver equações como essa, usamos os números complexos e a unidade imaginária.
Passo 4
Apresentando a unidade imaginária: definimos o número
(chamado de unidade imaginária) por
Com isso, a raiz quadrada de um número negativo pode ser escrita usando
. Em particular,
Aqui expliquei:
porque
, e então
.
Passo 5
Tomando raiz quadrada em
obtemos duas soluções (mais/menos):
Portanto as soluções complexas são
e
.
Passo 6
Verificação rápida: substituímos
em
:
O mesmo vale para
porque
. Assim as duas soluções estão corretas.