Resolver as equações:
(b) x^{2}+16=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \;x^{2}+16=0.\n
Informações dadas: a equação é quadrática em x e o termo constante é 16. A incógnita é x. A tarefa é encontrar todos os valores (reais ou complexos) de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Isolamos o termo com x para obter x^{2} sozinho. Subtraindo 16 dos dois lados da equação temos:
x^{2} = -16.
Isso significa que estamos procurando números cujo quadrado é -16.

Passo 3

Observação importante sobre números reais: nenhum número real elevado ao quadrado dá um número negativo. Ou seja, não existe x\in\mathbb{R} tal que x^{2}=-16. Então a equação não tem soluções reais. \n
Para resolver equações como essa, usamos os números complexos e a unidade imaginária.

Passo 4

Apresentando a unidade imaginária: definimos o número i (chamado de unidade imaginária) por
i^{2} = -1.
Com isso, a raiz quadrada de um número negativo pode ser escrita usando i. Em particular,
\sqrt{-1}=i\quad\text{e}\quad\sqrt{-16}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i.
Aqui expliquei: \sqrt{16}=4 porque 4^{2}=16, e então \sqrt{-16}=4i.

Passo 5

Tomando raiz quadrada em x^{2}=-16 obtemos duas soluções (mais/menos):
x=\pm\sqrt{-16}=\pm 4i.
Portanto as soluções complexas são x=4i e x=-4i.

Passo 6

Verificação rápida: substituímos x=4i em \;x^{2}+16:
(4i)^{2}+16 = 16\,i^{2}+16 = 16(-1)+16 = -16+16 = 0.
O mesmo vale para x=-4i porque (-4i)^{2}=16i^{2}=-16. Assim as duas soluções estão corretas.

Resposta

x=4i\n
x=-4i

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