Calcule:
\left(5 \cdot i^{3}\right)^{2}+\left(10 \cdot i^{5}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\left(5 \cdot i^{3}\right)^{2}+\left(10 \cdot i^{5}\right)^{4}.
Informações dadas: temos o número imaginário unitário i (ou seja, a unidade imaginária) e coeficientes reais 5 e 10. A tarefa é simplificar essa expressão numérica completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar e entender como funcionam as potências de i. Definimos:
i^1 = i,\qquad i^2 = -1.
A partir disso, podemos obter:
i^3 = i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i,
i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1.
Como i^4=1, as potências de i são periódicas de período 4: para qualquer inteiro n,
i^{n+4} = i^n.
Isso é útil para reduzir potências grandes de i.

Passo 3

Aplicando a periodicidade para reduzir i^3 e i^5:
i^3 = -i \quad\text{(já calculado acima)},á
i^5 = i^{4+1} = i^4\cdot i = 1\cdot i = i.

Passo 4

Agora simplificamos o primeiro termo \left(5\cdot i^{3}\right)^{2}. Substituindo i^3=-i temos:
\left(5\cdot i^{3}\right)^{2} = \left(5\cdot(-i)\right)^{2} = (-5i)^{2}.
Usamos a propriedade \left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2} para reescrever:
(-5i)^{2} = (-5)^{2}\cdot i^{2} = 25\cdot i^{2}.
E como i^{2}=-1, obtemos
25\cdot i^{2} = 25\cdot(-1) = -25.

Passo 5

Agora o segundo termo \left(10\cdot i^{5}\right)^{4}. Substituindo i^5=i obtemos:
\left(10\cdot i^{5}\right)^{4} = \left(10\cdot i\right)^{4} = (10i)^{4}.
Usamos a propriedade \left(ab\right)^{4}=a^{4}b^{4}:
(10i)^{4} = 10^{4}\cdot i^{4} = 10000\cdot i^{4}.
E como i^{4}=1, segue que
10000\cdot i^{4} = 10000\cdot 1 = 10000.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\left(5\cdot i^{3}\right)^{2}+\left(10\cdot i^{5}\right)^{4} = -25 + 10000 = 9975.

Resposta

\,9975\,

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