Calcule:
i^{1916}

Passo 1

O enunciado pede para calcular i^{1916}, onde i é a unidade imaginária. Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • Temos a base i e o expoente 1916.
  • Sabemos (ou usamos) a definição da unidade imaginária: i^2 = -1.
    Não vou resolver ainda — aqui só organizei o que é pedido e o que sabemos.

Passo 2

Vamos entender como se comportam as potências pequenas de i. Calculemos as primeiras potências e vejamos o padrão:
i^1 = i,
i^2 = -1\quad(\text{pela definição}),çã
i^3 = i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i,
i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1.
Observe que i^4 = 1. Isso gera um ciclo nas potências: i, -1, -i, 1 e depois volta a repetir. Ou seja, as potências de i são periódicas de período 4.

Passo 3

Explico a estratégia que vamos usar (bem prática para prova): qualquer expoente inteiro n pode ser escrito na forma
n = 4k + r,
onde k é um inteiro e r é o resto da divisão de n por 4, com r\in\{0,1,2,3\}. Usando essa decomposição e a propriedade de potências,
i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r.
Como vimos no Passo 2, i^4 = 1. Portanto i^n = 1^k \cdot i^r = i^r. Conclusão prática: para calcular i^n basta descobrir r, o resto da divisão de n por 4, e calcular i^r com a pequena tabela do Passo 2.
Um exemplo rápido para fixar: para n=7, temos 7=4\cdot1+3, portanto i^7 = i^3 = -i.

Passo 4

Apliquemos isso a n=1916. Precisamos do resto da divisão de 1916 por 4. Faço a divisão:
1916 \div 4 = 479
porque
4 \times 479 = 1916.
Logo o quociente é 479 e o resto é 0. Em termos da decomposição,
1916 = 4\cdot 479 + 0.
Portanto r=0.

Passo 5

Usando o resultado do Passo 3 com r=0,
i^{1916} = i^{4\cdot 479 + 0} = (i^4)^{479}\cdot i^0.
Como i^4=1 (Passo 2) e i^0=1 por convenção de potências, podemos escrever
i^{1916} = 1^{479}\cdot 1.
Não vou simplificar aqui — deixo a simplificação final apenas na seção de resposta, conforme pedido.

Resposta

1

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