Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a unidade imaginária. Informações relevantes dadas ou implícitas:
- Temos a base
e o expoente . - Sabemos (ou usamos) a definição da unidade imaginária:
.
Não vou resolver ainda — aqui só organizei o que é pedido e o que sabemos.
Passo 2
Vamos entender como se comportam as potências pequenas de
. Calculemos as primeiras potências e vejamos o padrão:
Observe que
. Isso gera um ciclo nas potências:
e depois volta a repetir. Ou seja, as potências de
são periódicas de período
.
Passo 3
Explico a estratégia que vamos usar (bem prática para prova): qualquer expoente inteiro
pode ser escrito na forma
onde
é um inteiro e
é o resto da divisão de
por
, com
. Usando essa decomposição e a propriedade de potências,
Como vimos no Passo 2,
. Portanto
. Conclusão prática: para calcular
basta descobrir
, o resto da divisão de
por
, e calcular
com a pequena tabela do Passo 2.
Um exemplo rápido para fixar: para
, temos
, portanto
.
Passo 4
Apliquemos isso a
. Precisamos do resto da divisão de
por
. Faço a divisão:
porque
Logo o quociente é
e o resto é
. Em termos da decomposição,
Portanto
.
Passo 5
Usando o resultado do Passo 3 com
,
Como
(Passo 2) e
por convenção de potências, podemos escrever
Não vou simplificar aqui — deixo a simplificação final apenas na seção de resposta, conforme pedido.