Calcule:
i^{3171}

Passo 1

O enunciado pede: calcule i^{3171}.
Informações dadas e assumidas: i é a unidade imaginária, ou seja, \;i^2=-1\;.

Passo 2

Vamos lembrar os valores das potências baixas de i — isso é essencial e super útil na prova:
\;i^1 = i\;
\;i^2 = -1\;
\;i^3 = -i\;
\;i^4 = 1\;
Note que a partir daqui as potências repetem em ciclo de período 4: \;i^{k+4}=i^k\; para todo inteiro k, porque \;i^{k+4}=i^k\cdot i^4=i^k\cdot 1=i^k\;.

Passo 3

Dessa periodicidade vem a ideia prática: para calcular \;i^n\; basta conhecer o resto da divisão de n por 4. Se n=4q+r com r\in\{0,1,2,3\}, então
i^n = i^{4q+r} = (i^4)^q \cdot i^r = 1^q \cdot i^r = i^r.
Ou seja, reduzimos o expoente para r, que é o resto da divisão por 4.

Passo 4

Agora calcule o resto da divisão de 3171 por 4. Fazendo a divisão:
3171 = 4\cdot 792 + 3.
Portanto o resto é 3.

Passo 5

Pelo passo anterior, \;i^{3171}=i^{4\cdot 792 + 3} = (i^4)^{792}\cdot i^3 = 1^{792}\cdot i^3 = i^3.
E das potências básicas (passo 2) sabemos que \;i^3 = -i.

Resposta

-i

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