Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas: (1) determinar o argumento de
e (2) fazer a representação geométrica de
.
Informações fornecidas que vamos usar: a parte real de é
e a parte imaginária de
é
.
Informações fornecidas que vamos usar: a parte real de
Passo 2
Primeiro, identifiquemos claramente as componentes e a fórmula do módulo e do argumento.
A parte real é .
A parte imaginária é .
A parte real é
A parte imaginária é
Passo 3
Vamos calcular o módulo
. A definição (fácil de entender com o teorema de Pitágoras) é:
Substituindo
e
temos
Então o ponto correspondente está a uma distância
da origem.
Passo 4
Agora o argumento
. Para um número complexo
com
usamos a relação
onde
é o ângulo (argumento) formado pelo vetor posição com o eixo real positivo. Aqui
e
, então
Sabemos que
acontece, no intervalo principal, para
(ou
).
Passo 5
Precisamos checar o quadrante para escolher o ângulo correto. Como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, onde o ângulo principal satisfeito por
é realmente
. Portanto
Passo 6
Verificação extra (útil na prova): podemos checar cosseno e seno usando o módulo
. Devemos ter
que são exatamente
e
. Confere!
Passo 7
Forma trigonométrica e exponencial (úteis para a representação geométrica): como
e
, podemos escrever
Passo 8
Representação geométrica descritiva (como desenhar na folha):
- No plano complexo, marque o ponto com coordenadas
. - Trace o vetor (flechinha) da origem
até esse ponto. Esse vetor tem comprimento e forma um ângulo de com o eixo real positivo. - Para facilitar o desenho, desenhe um triângulo retângulo com catetos
(no eixo ) e (no eixo ); a hipotenusa é . O ângulo na origem desse triângulo é .
Resposta
Ponto