Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:
z=2+2 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=2+2\sqrt{3}\,i e pede duas coisas: (1) determinar o argumento de z e (2) fazer a representação geométrica de z.
Informações fornecidas que vamos usar: a parte real de z é 2 e a parte imaginária de z é 2\sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos claramente as componentes e a fórmula do módulo e do argumento.
A parte real é \Re(z)=2.
A parte imaginária é \Im(z)=2\sqrt{3}.

Passo 3

Vamos calcular o módulo |z|. A definição (fácil de entender com o teorema de Pitágoras) é:
|z|=\sqrt{(\Re(z))^{2}+(\Im(z))^{2}}.
Substituindo \Re(z)=2 e \Im(z)=2\sqrt{3} temos
|z|=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+4\cdot 3}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.
Então o ponto correspondente está a uma distância 4 da origem.

Passo 4

Agora o argumento \arg z. Para um número complexo z=x+yi com x\neq 0 usamos a relação
\tan(\theta)=\frac{y}{x},
onde \theta é o ângulo (argumento) formado pelo vetor posição com o eixo real positivo. Aqui x=2 e y=2\sqrt{3}, então
\tan(\theta)=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Sabemos que \tan(\theta)=\sqrt{3} acontece, no intervalo principal, para \theta=\frac{\pi}{3} (ou 60^\circ).

Passo 5

Precisamos checar o quadrante para escolher o ângulo correto. Como x=2>0 e y=2\sqrt{3}>0, o ponto está no primeiro quadrante, onde o ângulo principal satisfeito por \tan(\theta)=\sqrt{3} é realmente \theta=\frac{\pi}{3}. Portanto
\arg z=\frac{\pi}{3}.

Passo 6

Verificação extra (útil na prova): podemos checar cosseno e seno usando o módulo |z|=4. Devemos ter
\cos(\theta)=\frac{x}{|z|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad \sin(\theta)=\frac{y}{|z|}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2},
que são exatamente \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) e \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right). Confere!

Passo 7

Forma trigonométrica e exponencial (úteis para a representação geométrica): como |z|=4 e \arg z=\frac{\pi}{3}, podemos escrever
z=4\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{\pi}{3}\bigr)=4e^{i\pi/3}.

Passo 8

Representação geométrica descritiva (como desenhar na folha):
  • No plano complexo, marque o ponto com coordenadas (2,\,2\sqrt{3}).
  • Trace o vetor (flechinha) da origem (0,0) até esse ponto. Esse vetor tem comprimento 4 e forma um ângulo de \frac{\pi}{3} com o eixo real positivo.
  • Para facilitar o desenho, desenhe um triângulo retângulo com catetos 2 (no eixo x) e 2\sqrt{3} (no eixo y); a hipotenusa é 4. O ângulo na origem desse triângulo é \frac{\pi}{3}.

Resposta

\arg z=\dfrac{\pi}{3}
Ponto (2,\,2\sqrt{3}) no plano complexo; |z|=4; forma trigonométrica 4\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) e forma exponencial 4e^{i\pi/3}

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