Calcule
\frac{3 i+5}{4-3 i} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{3 i+5}{4-3 i}.
Informações relevantes dadas: temos um numerador \,3 i+5 e um denominador \,4-3 i, onde i é a unidade imaginária com a propriedade \,i^2=-1. A tarefa é dividir esses dois números complexos e escrever o resultado na forma "parte real + parte imaginária vezes i".

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método). Para dividir números complexos, usamos o conjugado do denominador para “eliminar” a parte imaginária do denominador. O conjugado de um número complexo a+bi é a-bi. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado, o denominador vira um número real, porque
(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2 i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2.
Aqui a e b são números reais; i é a unidade imaginária com \,i^2=-1. Isso nos permite depois separar claramente a parte real e a parte imaginária no numerador e dividir por um real.

Passo 3

Aplicação do método: escrevo o conjugado do denominador \,4-3 i, que é \,4+3 i. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{3 i+5}{4-3 i}=\frac{(3 i+5)(4+3 i)}{(4-3 i)(4+3 i)}.

Passo 4

Calculo do numerador expandindo cuidadosamente. Primeiro escrevo o numerador com ordem mais usual 5+3 i para facilitar:
(5+3 i)(4+3 i)=5\cdot 4 + 5\cdot(3 i) + (3 i)\cdot 4 + (3 i)\cdot(3 i).
Agora calculo cada termo:
5\cdot 4=20,\qquad 5\cdot(3 i)=15 i,\qquad (3 i)\cdot 4=12 i,\qquad (3 i)\cdot(3 i)=9 i^2.
Lembrando que \,i^2=-1, então 9 i^2=9(-1)=-9. Somando os termos reais e imaginários:
20 + 15 i + 12 i -9 = (20-9) + (15 i+12 i) = 11 + 27 i.
Portanto o numerador fica 11+27 i.

Passo 5

Calculo do denominador usando a identidade com conjugado:
(4-3 i)(4+3 i)=4^2-(3 i)^2=16-9 i^2.
Como \,i^2=-1, temos -9 i^2 = -9(-1)=9. Assim
16-9 i^2 = 16+9=25.
O denominador é o número real 25.

Passo 6

Agora coloco o resultado em forma separada real + imaginária:
\frac{3 i+5}{4-3 i}=\frac{11+27 i}{25}=\frac{11}{25}+\frac{27}{25} i.
Para chegar nessa última forma, dividi separadamente a parte real 11 e a parte imaginária 27 pelo denominador real 25.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{25}+\frac{27}{25}i

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