Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
Informações relevantes dadas: temos um numerador
e um denominador
, onde
é a unidade imaginária com a propriedade
. A tarefa é dividir esses dois números complexos e escrever o resultado na forma "parte real + parte imaginária vezes
".
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método). Para dividir números complexos, usamos o conjugado do denominador para “eliminar” a parte imaginária do denominador. O conjugado de um número complexo
é
. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado, o denominador vira um número real, porque
Aqui
e
são números reais;
é a unidade imaginária com
. Isso nos permite depois separar claramente a parte real e a parte imaginária no numerador e dividir por um real.
Passo 3
Aplicação do método: escrevo o conjugado do denominador
, que é
. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado:
Passo 4
Calculo do numerador expandindo cuidadosamente. Primeiro escrevo o numerador com ordem mais usual
para facilitar:
Agora calculo cada termo:
Lembrando que
, então
. Somando os termos reais e imaginários:
Portanto o numerador fica
.
Passo 5
Calculo do denominador usando a identidade com conjugado:
Como
, temos
. Assim
O denominador é o número real
.
Passo 6
Agora coloco o resultado em forma separada real + imaginária:
Para chegar nessa última forma, dividi separadamente a parte real
e a parte imaginária
pelo denominador real
.