Encontre a solução geral das seguintes equações não homogêneas de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Informações fornecidas:
- A equação é de segunda ordem (aparece
).
- É não homogênea porque o lado direito é
(não zero).
O que devemos encontrar: a solução geral que satisfaz essa equação para todo
.
O que devemos encontrar: a solução geral
Passo 2
Primeiro passo efetivo: resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero). Escrevemos a homogênea:
Explicação do método (muito importante): procuramos soluções do tipo
. Por que? Porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por
: se
então
e
. Substituindo na equação homogênea e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica em
:
Aqui,
é uma variável (não é a solução final), e soluções de
nos dão exponenciais
que compõem a solução homogênea.
Passo 3
Resolver a equação característica:
Esta é uma quadrática que podemos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
: esses números são
e
. Logo,
Portanto as raízes são
Cada raiz gera uma solução exponencial independente. Assim a solução geral da homogênea (chamamos de
, solução complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias (aparecem porque a equação é de segunda ordem e precisamos de duas constantes para a família de soluções).
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não homogênea
Explicação do método escolhido (método dos coeficientes indeterminados): quando o lado direito é um polinômio em
(aqui
), uma boa tentativa é escolher
também como um polinômio de mesma ordem: tentamos
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar. Observação importante: se alguma parte dessa tentativa coincidisse com uma solução da homogênea (por exemplo, se
fosse um polinômio — o que não ocorre aqui), precisaríamos multiplicar por
. No nosso caso não há coincidência, então
é adequada.
Passo 5
Calcular derivadas de
:
Substituir na equação original:
Organizar termos por potência de
:
Essa expressão deve ser igual ao lado direito
, ou seja:
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e coeficiente constante), obtemos o sistema:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Portanto a solução particular é
Passo 7
Formar a solução geral da equação não homogênea somando a solução complementar
e a particular
. Justificativa curta: a equação diferencial é linear, logo a soma de uma solução da homogênea com uma solução particular dá a solução geral da não homogênea (a linearidade do operador diferencial permite essa superposição).
Assim,
Assim,
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais se houvesse).