Encontre a solução geral das seguintes equações não homogêneas de segunda ordem.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
y'' + y' - 2y = 2x.
Informações fornecidas:
\; - A equação é de segunda ordem (aparece y'').
\; - É não homogênea porque o lado direito é \;2x\; (não zero).
O que devemos encontrar: a solução geral y(x) que satisfaz essa equação para todo x.

Passo 2

Primeiro passo efetivo: resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero). Escrevemos a homogênea:
y'' + y' - 2y = 0.
Explicação do método (muito importante): procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Por que? Porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por r: se y=e^{rx} então y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na equação homogênea e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica em r:
r^2 + r - 2 = 0.
Aqui, r é uma variável (não é a solução final), e soluções de r nos dão exponenciais e^{rx} que compõem a solução homogênea.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0.
Esta é uma quadrática que podemos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e soma seja 1: esses números são 2 e -1. Logo,
r^2 + r - 2 = (r-1)(r+2)=0.
Portanto as raízes são
r_1 = 1,\qquad r_2 = -2.
Cada raiz gera uma solução exponencial independente. Assim a solução geral da homogênea (chamamos de y_c, solução complementar) é
y_c(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (aparecem porque a equação é de segunda ordem e precisamos de duas constantes para a família de soluções).

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação não homogênea
y'' + y' - 2y = 2x.
Explicação do método escolhido (método dos coeficientes indeterminados): quando o lado direito é um polinômio em x (aqui 2x), uma boa tentativa é escolher y_p também como um polinômio de mesma ordem: tentamos
y_p(x) = A x + B,
onde A e B são constantes desconhecidas a determinar. Observação importante: se alguma parte dessa tentativa coincidisse com uma solução da homogênea (por exemplo, se e^{rx} fosse um polinômio — o que não ocorre aqui), precisaríamos multiplicar por x. No nosso caso não há coincidência, então Ax+B é adequada.

Passo 5

Calcular derivadas de y_p:
y_p'(x) = A,\qquad y_p''(x) = 0.
Substituir na equação original:
y_p'' + y_p' - 2y_p = 0 + A - 2(Ax + B).
Organizar termos por potência de x:
A - 2Ax - 2B = (-2A)x + (A - 2B).
Essa expressão deve ser igual ao lado direito 2x, ou seja:
(-2A)x + (A - 2B) = 2x + 0.
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e coeficiente constante), obtemos o sistema:
-2A = 2,
A - 2B = 0.

Passo 6

Resolver o sistema para A e B. Da primeira equação:
-2A = 2 \implies A = -1.
Substituindo na segunda:
-1 - 2B = 0 \implies -2B = 1 \implies B = -\dfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(x) = -x - \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Formar a solução geral da equação não homogênea somando a solução complementar y_c e a particular y_p. Justificativa curta: a equação diferencial é linear, logo a soma de uma solução da homogênea com uma solução particular dá a solução geral da não homogênea (a linearidade do operador diferencial permite essa superposição).
Assim,
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} - x - \dfrac{1}{2},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais se houvesse).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}-x-\dfrac{1}{2}

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