Calcule:
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} se y=f(x) é dada implicitamente por x \cdot \operatorname{cosh} (y)=y-1.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\operatorname{cosh}(y)=y-1
e pede \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Vamos usar diferenciação implícita, que combina a regra do produto e a regra da cadeia (já que y é função de x).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
à esquerda,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\operatorname{cosh}(y)\bigr) =1\cdot\operatorname{cosh}(y)+x\cdot\operatorname{sinh}(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\operatorname{cosh}(y)+x\operatorname{sinh}(y)\,y'.
À direita,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y-1)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y'.
Logo a igualdade fica
\operatorname{cosh}(y)+x\operatorname{sinh}(y)\,y' = y'.

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro, colocamos os termos com y' num lado:
x\operatorname{sinh}(y)\,y' - y' = -\operatorname{cosh}(y).
Fatorando y':
y'\,\bigl(x\operatorname{sinh}(y)-1\bigr) = -\operatorname{cosh}(y).
Finalmente, dividimos por \bigl(x\operatorname{sinh}(y)-1\bigr) para obter
y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\operatorname{cosh}(y)}{x\operatorname{sinh}(y)-1}.

Resposta

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\operatorname{cosh}(y)}{x\operatorname{sinh}(y)-1}.

Exercícios relacionados