Calcule:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\left(\frac{\cos x}{2+\sin x}\right)^{10}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia (para a potência de grau 10) e a regra do quociente (para a função interna \tfrac{\cos x}{2+\sin x}).

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{\cos x}{2+\sin x},
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y(x) = [u(x)]^{10}.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = 10\,[u(x)]^9 \cdot u'(x).

Passo 3

Para encontrar u'(x), aplicamos a regra do quociente com f(x)=\cos x e g(x)=2+\sin x:
f'(x) = -\sin x, \quad g'(x) = \cos x,
u'(x) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{(-\sin x)(2+\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(2+\sin x)^2}.
No numerador surge
(-\sin x)(2+\sin x) - \cos^2 x = -2\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x = -2\sin x -1
porque \sin^2 x + \cos^2 x = 1. Assim
u'(x) = \frac{-\,(2\sin x + 1)}{(2+\sin x)^2}.

Passo 4

Substituindo na expressão de \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = 10 \left(\frac{\cos x}{2+\sin x}\right)^{9} \cdot \left(\frac{-\,(2\sin x+1)}{(2+\sin x)^2}\right) = -10\,(2\sin x+1)\,\frac{\cos^9 x}{(2+\sin x)^{11}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{2+\sin x}\right)^{10} = -10\,(2\sin x+1)\,\frac{\cos^9 x}{(2+\sin x)^{11}}.

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