Mostre que \frac{1}{2 \pi i} \oint_{c} \frac{e^{z t}}{z^{2}+1} dz= sent , se t>0 e C é o círculo |z|=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{e^{z t}}{z^{2}+1}\,dz
em que t>0 e C é o círculo |z|=3. O método é aplicar o Teorema dos Resíduos em funções meromorfas.

Passo 2

Identificamos os polos de
f(z)=\frac{e^{z t}}{z^{2}+1}
que são as raízes de z^{2}+1=0, ou seja z=i e z=-i. Como |i|=1<3 e |-i|=1<3, ambos estão dentro de C.

Passo 3

Calculamos o resíduo em z=i:
\Res(f,i) =\lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{z t}}{(z-i)(z+i)} =\frac{e^{i t}}{2i}.
E em z=-i:
\Res(f,-i) =\lim_{z\to -i}(z+ i)\frac{e^{z t}}{(z-i)(z+i)} =\frac{e^{-i t}}{-2i} =-\frac{e^{-i t}}{2i}.

Passo 4

Somando os resíduos:
\Res(f,i)+\Res(f,-i) =\frac{e^{i t}}{2i}-\frac{e^{-i t}}{2i} =\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i} =\sin t.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}f(z)\,dz =\sum_{\substack{\text{polos}\\text{em }C}}\Res(f) =\sin t.

Resposta

\sin t

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