Calcule:
a) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{z-\pi / 6} dz
b) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{(z-\pi / 6)^{3}} dz, onde C é o círculo |z|=1.
a) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{z-\pi / 6} dz
b) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{(z-\pi / 6)^{3}} dz, onde C é o círculo |z|=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais
onde
é o círculo
. O conteúdo aqui é o Teorema Integral de Cauchy e sua forma generalizada para derivadas, já que
é inteira e o único polo de cada integrando dentro de
é
.
Passo 2
Para a parte (a) temos um polo simples em
. Pelo Teorema Integral de Cauchy,
aqui
e
. Logo,
Passo 3
Calculamos
, então
Portanto
Passo 4
Para a parte (b) temos um polo de ordem 3 em
. A forma generalizada do teorema de Cauchy diz que, para
,
Aqui
,
e
. Logo
Passo 5
Agora calculamos
para
. Primeiro
e em seguida
Em
temos
,
. Então
Logo
Passo 6
Substituindo em
, obtemos
Resposta
(a)
(b)