Calcule:
a) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{z-\pi / 6} dz
b) \oint_{c} \frac{\operatorname{sen}^{6} z}{(z-\pi / 6)^{3}} dz, onde C é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
\oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{z-\pi/6}\,dz \quad\text{e}\quad \oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{(z-\pi/6)^{3}}\,dz,
onde C é o círculo \lvert z\rvert=1. O conteúdo aqui é o Teorema Integral de Cauchy e sua forma generalizada para derivadas, já que \operatorname{sen}^{6}z é inteira e o único polo de cada integrando dentro de \lvert z\rvert=1 é z=\pi/6.

Passo 2

Para a parte (a) temos um polo simples em z=\pi/6. Pelo Teorema Integral de Cauchy,
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a),
aqui f(z)=\operatorname{sen}^{6}z e a=\pi/6. Logo,
\oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{z-\pi/6}\,dz =2\pi i\;\operatorname{sen}^{6}\!\Bigl(\frac\pi6\Bigr).

Passo 3

Calculamos \operatorname{sen}(\pi/6)=1/2, então
\operatorname{sen}^{6}\!\Bigl(\frac\pi6\Bigr) =\bigl(\tfrac12\bigr)^{6} =\frac1{64}.
Portanto
\oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{z-\pi/6}\,dz =2\pi i\;\frac1{64} =\frac{\pi i}{32}.

Passo 4

Para a parte (b) temos um polo de ordem 3 em z=\pi/6. A forma generalizada do teorema de Cauchy diz que, para n\ge1,
\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz =\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(a).
Aqui n+1=3\Rightarrow n=2, f(z)=\operatorname{sen}^{6}z e a=\pi/6. Logo
\oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{(z-\pi/6)^{3}}\,dz =\frac{2\pi i}{2!}\,f''\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr) =\pi i\;f''\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr).

Passo 5

Agora calculamos f''(z) para f(z)=\operatorname{sen}^{6}z. Primeiro
f'(z)=6\,\operatorname{sen}^{5}z\;\cos z,
e em seguida
f''(z) =6\;\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{sen}^{5}z\cos z\bigr) =6\Bigl(5\,\operatorname{sen}^{4}z\cos^{2}z -\operatorname{sen}^{6}z\Bigr).
Em z=\pi/6 temos \operatorname{sen}(\pi/6)=\tfrac12, \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt3}{2}. Então
\operatorname{sen}^{4}\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr) =\bigl(\tfrac12\bigr)^{4}=\tfrac1{16},\quad \cos^{2}\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr) =\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac34,
5\,\operatorname{sen}^{4}\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr)\cos^{2}\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr) =5\cdot\tfrac1{16}\cdot\tfrac34 =\tfrac{15}{64},\quad \operatorname{sen}^{6}\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr)=\tfrac1{64}.
Logo
f''\!\Bigl(\tfrac\pi6\Bigr) =6\Bigl(\tfrac{15}{64}-\tfrac1{64}\Bigr) =6\cdot\tfrac{14}{64} =\tfrac{84}{64} =\tfrac{21}{16}.

Passo 6

Substituindo em \oint_{C}(\cdots)\,dz=\pi i\,f''(\pi/6), obtemos
\oint_{C}\frac{\operatorname{sen}^{6}z}{(z-\pi/6)^{3}}\,dz =\pi i\;\frac{21}{16} =\frac{21\pi i}{16}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\pi i}{32}.
(b) \displaystyle \frac{21\pi i}{16}.

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