(4,5) Seja
f(x)=\frac{x}{x^{2}-9}
Encontre
a) (0,8) Domínio e simetria.
b) (0,9) Assíntotas.
c) (1,0) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) (1,0) Concavidade e ponto de inflexão.
e) (0,8) Esboce o gráfico.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-9}.
O enunciado pede as seguintes coisas:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas (verticais, horizontais/oblíquas e comportamento nas imediações).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais.
d) Concavidade e pontos de inflexão.
e) Esboço do gráfico (com os elementos importantes anotados).
As informações que temos: expressão analítica de f. Não há figura adicional.

Passo 2

Domínio. Para que f(x) esteja definida precisamos que o denominador não seja zero. Assim resolvemos
x^{2}-9\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq9 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm3.
Portanto o domínio é a união dos três intervalos
(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty).
Eu destaquei explicitamente que removemos x=\pm3 porque aí o denominador anula.

Passo 3

Simetria. Para testar paridade (se é par, ímpar ou nenhuma) calculamos f(-x):
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}-9}=\frac{-x}{x^{2}-9}=-\frac{x}{x^{2}-9}=-f(x).
Como f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, a função é ímpar (simétrica em relação à origem).

Passo 4

Assíntotas verticais e comportamento nas imediações. Pontos candidatos são x=\pm3 (zeros do denominador). Precisamos ver os limites laterais.
Analise em x=3. Para x\to3^{-} temos x>0 próximo de 3, mas x^{2}-9=(x-3)(x+3) com x-3<0 e x+3>0, então o denominador é negativo e tende a 0, numerador tende a 3>0. Logo
\lim_{x\to3^{-}}f(x)=-\infty.
Para x\to3^{+} o fator x-3>0 dá denominador positivo pequeno e numerador positivo, então
\lim_{x\to3^{+}}f(x)=+\infty.
Portanto x=3 é assíntota vertical.
Analise em x=-3. Para x\to-3^{-} (valores menores que -3) temos x\approx-3 negativo, x-3<0, x+3<0 então x^{2}-9>0 pequeno e numerador x<0
\lim_{x\to-3^{-}}f(x)=-\infty.
Para x\to-3^{+} (valores maiores que -3 mas menores que 3) temos x+3>0 pequeno, x-3<0 então x^{2}-9<0 pequeno e numerador x<0 dá quociente positivo grande:
\lim_{x\to-3^{+}}f(x)=+\infty.
Portanto x=-3 também é assíntota vertical.

Passo 5

Assíntota horizontal (ou oblíqua) no infinito. Para |x|\to\infty comparamos graus: o numerador tem grau 1 e o denominador grau 2. Assim f(x) tende a zero. Formalmente,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}-9}=0.
Logo existe assíntota horizontal y=0. Não há assíntota oblíqua porque o grau do denominador é maior que o do numerador.

Passo 6

Derivada primeira e regra usada. Vou usar a regra do quociente: para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} temos
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=x com u'(x)=1 e v(x)=x^{2}-9 com v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}-9)-x\cdot(2x)}{(x^{2}-9)^{2}}=\frac{x^{2}-9-2x^{2}}{(x^{2}-9)^{2}}=\frac{-x^{2}-9}{(x^{2}-9)^{2}}.
Podemos reescrever
f'(x)=-\frac{x^{2}+9}{(x^{2}-9)^{2}}.

Passo 7

Monotonicidade e extremos locais usando o sinal de f'(x). Observações:
  • O numerador \;-(x^{2}+9)\; é sempre negativo porque x^{2}+9>0 para todo x.
  • O denominador \;(x^{2}-9)^{2}\; é sempre positivo para todo x do domínio (é um quadrado), exceto em x=\pm3 onde a função não está definida.
Portanto f'(x)<0 para todo x no domínio. Conclusões:
  • A função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio: \text{decrescente em }(-\infty,-3),\;(-3,3),\;(3,\infty).
  • Não existem pontos de mínimo ou máximo locais internos ao domínio (nenhum extremo local), porque não há mudança de sinal de f' que gere um mínimo ou máximo.

Passo 8

Derivada segunda (para concavidade). Vou derivar f'(x)=-\dfrac{x^{2}+9}{(x^{2}-9)^{2}}. Faço pelo quociente novamente com N(x)=-(x^{2}+9) e D(x)=(x^{2}-9)^{2}.
Calculemos as derivadas:
N'(x)=-2x,\qquad D'(x)=2(x^{2}-9)\cdot 2x=4x(x^{2}-9).
Aplicando a fórmula:
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Substituindo:
f''(x)=\frac{-2x\,(x^{2}-9)^{2}-\bigl(-(x^{2}+9)\bigr)\,4x(x^{2}-9)}{(x^{2}-9)^{4}}.
Simplifico o numerador: fatorando 2x(x^{2}-9),
\text{num}=2x(x^{2}-9)\bigl(- (x^{2}-9)+2(x^{2}+9)\bigr)=2x(x^{2}-9)(x^{2}+27).
Logo
f''(x)=\frac{2x(x^{2}+27)}{(x^{2}-9)^{3}}.
Esse é o resultado simplificado da segunda derivada.

Passo 9

Concavidade e ponto(s) de inflexão a partir do sinal de f''(x).
Observações sobre o sinal de f''(x)=\dfrac{2x(x^{2}+27)}{(x^{2}-9)^{3}}:
  • O fator \;x^{2}+27>0\; para todo x.
  • O sinal de f''(x) é então dado por 2x multiplicado pelo sinal de (x^{2}-9)^{3}.
  • O expoente 3 preserva o sinal de x^{2}-9: para |x|>3 temos x^{2}-9>0 e para |x|<3 temos x^{2}-9<0.
Analise por intervalos:
  • Em (-\infty,-3): x<0 e x^{2}-9>0 f''(x)<0. Concavidade para baixo.
  • Em (-3,0): x<0 e x^{2}-9<0 f''(x)>0. Concavidade para cima.
  • Em (0,3): x>0 e x^{2}-9<0 f''(x)<0. Concavidade para baixo.
  • Em (3,\infty): x>0 e x^{2}-9>0 f''(x)>0. Concavidade para cima.
Raiz de f'': apenas x=0 zera o numerador. Verificamos mudança de sinal de f'' ao atravessar x=0 (de positivo em (-3,0) para negativo em (0,3)), e x=0 pertence ao domínio. Portanto x=0 é ponto de inflexão. A ordenada é
f(0)=\frac{0}{0-9}=0,
portanto o ponto de inflexão é (0,0).

Passo 10

Elementos para esboçar o gráfico (resumo e pontos de referência).
  • Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Interceptos: f(0)=0 (origem). Não há outros zeros, porque f(x)=0 ⇔ numerador x=0.
  • Simetria: ímpar (simetria em relação à origem).
  • Monotonicidade: função estritamente decrescente em cada ramo do domínio.
  • Concavidade: concava para baixo em (-\infty,-3) e (0,3); côncava para cima em (-3,0) e (3,\infty).
  • Ponto de inflexão: (0,0).
  • Comportamento nas assíntotas (resumo dos limites): \lim_{x\to3^{-}}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to3^{+}}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-3^{-}}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to-3^{+}}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
  • Alguns pontos numéricos para guiar o traçado (peguei calculando a função): f(4)=\frac{4}{16-9}=\frac{4}{7}\approx0,571,\quad f(2)=\frac{2}{4-9}=-\frac{2}{5}=-0,4,
f(-2)=0,4,\quad f(-4)=-\frac{4}{7}\approx-0,571.
Com esses dados você desenha três ramos: um à esquerda de -3 que vem de 0^{-} (quando x\to-\infty) descendo e indo para -\infty em x\to-3^{-}; um ramo entre -3 e 3 que vem de +\infty em x\to-3^{+}, cruza a origem (ponto de inflexão) e cai para -\infty em x\to3^{-}; e um ramo à direita de 3 que vem de +\infty em x\to3^{+} e decresce assimptoticamente a 0^{+} quando x\to\infty. Lembre-se de preservar a simetria ímpar ao desenhar (o ramo esquerdo é imagem por rotação de 180º do ramo direito).

Resposta

a) Domínio: (-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty). Simetria: f é ímpar (simétrica em relação à origem).
b) Assíntotas verticais: x=-3 e x=3. Assíntota horizontal: y=0. Limites laterais: \lim_{x\to3^{-}}f(x)=-\infty, \lim_{x\to3^{+}}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-3^{-}}f(x)=-\infty, \lim_{x\to-3^{+}}f(x)=+\infty, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
c) Crescimento/decrescimento: f'(x)=-\dfrac{x^{2}+9}{(x^{2}-9)^{2}}<0 em todo o domínio, logo f é estritamente decrescente em (-\infty,-3), (-3,3) e (3,\infty). Extremos locais: nenhum.
d) Concavidade: f''(x)=\dfrac{2x(x^{2}+27)}{(x^{2}-9)^{3}}. Assim f é côncava para baixo em (-\infty,-3) e (0,3), e côncava para cima em (-3,0) e (3,\infty). Ponto de inflexão: (0,0).
e) Esboço: três ramos com assíntotas x=\pm3 (verticais) e y=0 (horizontal); ramo entre -3 e 3 passa por (0,0) (inflexão) indo de +\infty em -3^{+} a -\infty em 3^{-}; ramos exteriores decrescem de/para 0 em infinito com sinais conforme descrito acima (usar os pontos f(2)=-0,4, f(4)=4/7 e simetria ímpar para auxiliar o desenho).

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