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a)
Domínio e simetria.
b)
Assíntotas.
c)
Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d)
Concavidade e ponto de inflexão.
e)
Esboce o gráfico.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos a função
O enunciado pede as seguintes coisas:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas (verticais, horizontais/oblíquas e comportamento nas imediações).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais.
d) Concavidade e pontos de inflexão.
e) Esboço do gráfico (com os elementos importantes anotados).
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas (verticais, horizontais/oblíquas e comportamento nas imediações).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais.
d) Concavidade e pontos de inflexão.
e) Esboço do gráfico (com os elementos importantes anotados).
As informações que temos: expressão analítica de
. Não há figura adicional.
Passo 2
Domínio. Para que
esteja definida precisamos que o denominador não seja zero. Assim resolvemos
Portanto o domínio é a união dos três intervalos
Eu destaquei explicitamente que removemos
porque aí o denominador anula.
Passo 3
Simetria. Para testar paridade (se é par, ímpar ou nenhuma) calculamos
:
Como
para todo
do domínio, a função é ímpar (simétrica em relação à origem).
Passo 4
Assíntotas verticais e comportamento nas imediações. Pontos candidatos são
(zeros do denominador). Precisamos ver os limites laterais.
Analise em
. Para
temos
próximo de
, mas
com
e
, então o denominador é negativo e tende a
, numerador tende a
. Logo
Para
o fator
dá denominador positivo pequeno e numerador positivo, então
Portanto
é assíntota vertical.
Analise em
. Para
(valores menores que
) temos
negativo,
,
então
pequeno e numerador
dá
Para
(valores maiores que
mas menores que
) temos
pequeno,
então
pequeno e numerador
dá quociente positivo grande:
Portanto
também é assíntota vertical.
Passo 5
Assíntota horizontal (ou oblíqua) no infinito. Para
comparamos graus: o numerador tem grau
e o denominador grau
. Assim
tende a zero. Formalmente,
Logo existe assíntota horizontal
. Não há assíntota oblíqua porque o grau do denominador é maior que o do numerador.
Passo 6
Derivada primeira e regra usada. Vou usar a regra do quociente: para
temos
Aqui
com
e
com
. Aplicando:
Podemos reescrever
Passo 7
Monotonicidade e extremos locais usando o sinal de
. Observações:
- O numerador
é sempre negativo porque para todo . - O denominador
é sempre positivo para todo do domínio (é um quadrado), exceto em onde a função não está definida.
Portanto
para todo
no domínio. Conclusões:
- A função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio:
- Não existem pontos de mínimo ou máximo locais internos ao domínio (nenhum extremo local), porque não há mudança de sinal de
que gere um mínimo ou máximo.
Passo 8
Derivada segunda (para concavidade). Vou derivar
. Faço pelo quociente novamente com
e
.
Calculemos as derivadas:
Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Simplifico o numerador: fatorando
,
Logo
Esse é o resultado simplificado da segunda derivada.
Passo 9
Concavidade e ponto(s) de inflexão a partir do sinal de
.
Observações sobre o sinal de
:
- O fator
para todo . - O sinal de
é então dado por multiplicado pelo sinal de . - O expoente 3 preserva o sinal de
: para temos e para temos .
Analise por intervalos:
- Em
: e ⇒ . Concavidade para baixo. - Em
: e ⇒ . Concavidade para cima. - Em
: e ⇒ . Concavidade para baixo. - Em
: e ⇒ . Concavidade para cima.
Raiz de
: apenas
zera o numerador. Verificamos mudança de sinal de
ao atravessar
(de positivo em
para negativo em
), e
pertence ao domínio. Portanto
é ponto de inflexão. A ordenada é
portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 10
Elementos para esboçar o gráfico (resumo e pontos de referência).
- Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Interceptos:
(origem). Não há outros zeros, porque ⇔ numerador . - Simetria: ímpar (simetria em relação à origem).
- Monotonicidade: função estritamente decrescente em cada ramo do domínio.
- Concavidade: concava para baixo em
e ; côncava para cima em e . - Ponto de inflexão:
. - Comportamento nas assíntotas (resumo dos limites):
- Alguns pontos numéricos para guiar o traçado (peguei calculando a função):
Com esses dados você desenha três ramos: um à esquerda de
que vem de
(quando
) descendo e indo para
em
; um ramo entre
e
que vem de
em
, cruza a origem (ponto de inflexão) e cai para
em
; e um ramo à direita de
que vem de
em
e decresce assimptoticamente a
quando
. Lembre-se de preservar a simetria ímpar ao desenhar (o ramo esquerdo é imagem por rotação de 180º do ramo direito).
Resposta
a) Domínio:
. Simetria:
é ímpar (simétrica em relação à origem).
b) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
. Limites laterais:
,
,
,
,
.
c) Crescimento/decrescimento: em todo o domínio, logo
é estritamente decrescente em
,
e
. Extremos locais: nenhum.
d) Concavidade: . Assim
é côncava para baixo em
e
, e côncava para cima em
e
. Ponto de inflexão:
.
e) Esboço: três ramos com assíntotas (verticais) e
(horizontal); ramo entre
e
passa por
(inflexão) indo de
em
a
em
; ramos exteriores decrescem de/para
em infinito com sinais conforme descrito acima (usar os pontos
,
e simetria ímpar para auxiliar o desenho).
b) Assíntotas verticais:
c) Crescimento/decrescimento:
d) Concavidade:
e) Esboço: três ramos com assíntotas