Calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} para
f(x, y)=x^{3} y^{2}+e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas derivadas parciais da função f. As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
A função dada é
f(x,y)=x^{3}y^{2}+e^{xy}.
As informações relevantes são exatamente os dois termos da função: o termo polinomial x^{3}y^{2} e o termo exponencial e^{xy}.

Passo 2

O que é derivada parcial (mini-aula)?
A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
Na prática, para calcular \partial/\partial x trata-se y como constante e deriva-se em x como em cálculo de uma variável; para \partial/\partial y trata-se x como constante.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (mini-aula curta):
  • Regra da potência: para g(x)=x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Se um fator é constante (em relação à variável que derivamos), ele sai multiplicando: por exemplo, derivando em x a expressão c\cdot x^{3} com c constante, obtemos c\cdot 3x^{2}.
  • Regra da cadeia para exponencial: se h(x)=e^{u(x)}, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
No caso de uma derivada parcial de e^{xy} com respeito a x, a função interna é u(x,y)=xy e u_x=\partial (xy)/\partial x = y (pois y é tratado como constante).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} (passo a passo):
  • Separe os termos: f(x,y)=\underbrace{x^{3}y^{2}}_{T_1}+\underbrace{e^{xy}}_{T_2}.
  • Derive T_1=x^{3}y^{2} em relação a x. Aqui y^{2} é constante, então:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=y^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Derive T_2=e^{xy} em relação a x. Use regra da cadeia com u(x,y)=xy. Tem-se u_x=y, logo:
\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot y = y e^{xy}.
  • Some os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y e^{xy}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} (passo a passo):
  • Novamente separe os termos: T_1=x^{3}y^{2} e T_2=e^{xy}.
  • Derive T_1 em relação a y. Agora x^{3} é constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=x^{3}\cdot\frac{d}{dy}y^{2}=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y.
  • Derive T_2=e^{xy} em relação a y. Use regra da cadeia com u(x,y)=xy. Agora u_y=x, então:
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot x = x e^{xy}.
  • Some os resultados:
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x e^{xy}.

Passo 6

Resumo final (já simplificado). Relembre: cada derivada parcial foi obtida tratando a outra variável como constante e aplicando potência e regra da cadeia quando necessário. Está tudo pronto para a prova — respire fundo, você conseguiu!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y e^{xy}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x e^{xy}

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