Calcule partial^2 f(x, y)partial x partial y e $\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}.
partial^2 f(x, y)partial y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2y + x y^2
e pede as segundas derivadas parciais partial^2fpartial xpartial y e partial^2fpartial y^2.
O conteúdo necessário é a definição de derivada parcial e as regras básicas de diferenciação (produto e soma).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Tratando y como constante, temos
partial fpartial x =partialpartial x(x^2y) + partialpartial x(x y^2) =2xy + y^2

Passo 3

A seguir, diferenciamos partial fpartial x em relação a y para obter
partial^2fpartial y,partial x =partialpartial y(2xy + y^2) =2x + 2y
Como f é suave, partial^2fpartial xpartial y=partial^2fpartial ypartial x.

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Tratando x como constante,
partial fpartial y =partialpartial y(x^2y) + partialpartial y(x y^2) =x^2 + 2xy

Passo 5

Finalmente, diferenciamos partial fpartial y em relação a y para obter
partial^2fpartial y^2 =partialpartial y(x^2 + 2xy) =2x

Resposta

partial^2fpartial xpartial y=2x+2y, partial^2fpartial y^2=2x

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