Calcule partial^2 f(x, y)partial x partial y e $\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}.
partial^2 f(x, y)partial y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo das derivadas parciais de segunda ordem partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y^2 da função
f(x,y)=raizx,y=(x,y)^1/2
O conteúdo principal é derivadas parciais de funções de duas variáveis, usando regra de potência e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando
partialpartial x(x,y)^1/2 =tfrac12(x,y)^-1/2cdot y
e
partialpartial y(x,y)^1/2 =tfrac12(x,y)^-1/2cdot x,
obtemos
partial fpartial x = y2raizx,y, partial fpartial y = x2raizx,y

Passo 3

Para a derivada mista, derivamos partial fpartial x em relação a y. Reescrevendo
partial fpartial x =tfrac12,x^-1/2y^1/2,
temos
partial^2 fpartial ypartial x = partialpartial yl(tfrac12,x^-1/2y^1/2r) = tfrac12,x^-1/2cdottfrac12,y^-1/2 = 14raizx,y

Passo 4

Para partial^2 fpartial y^2, derivamos
partial fpartial y =tfrac12,x^1/2y^-1/2
em relação a y:
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial yl(tfrac12,x^1/2y^-1/2r) = tfrac12,x^1/2cdotl(-tfrac12r)y^-3/2 = -raizx4,y^3/2

Resposta

partial^2 fpartial x partial y = 14raizx,y, partial^2 fpartial y^2 = -raizx4,y^3/2

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