Calcule partial^2 f(x, y)partial x partial y e $\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}.
partial^2 f(x, y)partial y^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=cos(xy)
e pede duas derivadas de segunda ordem: a mista partial^2fpartial xpartial y e a segunda em y, partial^2fpartial y^2. Vamos usar a regra da cadeia e, quando necessário, produto de funções.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas de primeira ordem. Para isso lembramos que
dducos(u)=-sin(u)
e que, em u=xy, temos partial u/partial x=y e partial u/partial y=x. Assim,
partial fpartial x =partialpartial xl[cos(xy)r] =-sin(xy),partial (xy)partial x =-y,sin(xy),
partial fpartial y =partialpartial yl[cos(xy)r] =-sin(xy),partial (xy)partial y =-x,sin(xy)

Passo 3

Agora calculamos a derivada mista partial^2fpartial xpartial y derivando partial f/partial x em relação a y. Como partial f/partial x=-ysin(xy), aplicamos produto e cadeia:
partial^2fpartial xpartial y =partialpartial yl[-ysin(xy)r] =-sin(xy);-;ycos(xy),partial (xy)partial y =-sin(xy);-;xycos(xy)

Passo 4

Para partial^2fpartial y^2, derivamos partial f/partial y=-xsin(xy) em relação a y. Aqui usamos que a constante x sai em fator e aplicamos cadeia:
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl[-xsin(xy)r] =-x,cos(xy),partial (xy)partial y =-x,(x)cos(xy) =-x^2cos(xy)

Resposta

partial^2fpartial xpartial y=-sin(xy)-xycos(xy), partial^2fpartial y^2=-x^2cos(xy)

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