Calcule
e $\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas derivadas de segunda ordem: a mista
e a segunda em
,
. Vamos usar a regra da cadeia e, quando necessário, produto de funções.
Passo 2
Primeiro obtemos as derivadas de primeira ordem. Para isso lembramos que
e que, em
, temos
e
. Assim,
Passo 3
Agora calculamos a derivada mista
derivando
em relação a
. Como
, aplicamos produto e cadeia:
Passo 4
Para
, derivamos
em relação a
. Aqui usamos que a constante
sai em fator e aplicamos cadeia: