Calcule partial^2 f(x, y)partial x partial y e $\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}.
partial^2 f(x, y)partial y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais mistas partial^2 fpartial xpartial y e a segunda derivada em y, sendo
f(x,y)=ul(s(x,y)r), s(x,y)=x,y^2 + x^2,y
Vamos usar a regra da cadeia e o produto para derivadas parciais:
partialpartial xul(s(x,y)r)=u'l(sr)partial spartial x, partialpartial yul(s(x,y)r)=u'l(sr)partial spartial y

Passo 2

Calculemos primeiro
partial spartial y =partialpartial yl(x,y^2 + x^2,yr) =2x,y + x^2,
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partial fpartial y = u'l(sr),(2x,y + x^2)

Passo 3

Agora obtemos a derivada mista derivando partial f/partial y em relação a x:
partial^2 fpartial xpartial y = partialpartial xl[u'l(sr)(2x,y + x^2)r] = u''l(sr)partial spartial x(2x,y + x^2) + u'l(sr)partialpartial x(2x,y + x^2)
Como
partial spartial x = y^2 + 2x,y, partialpartial x(2x,y + x^2) =2y + 2x,
segue
partial^2 fpartial xpartial y = u''l(sr),(y^2 + 2x,y),(2x,y + x^2) + (2x + 2y),u'l(sr)

Passo 4

Para a segunda derivada em y, derivamos partial f/partial y em relação a y:
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial yl[u'l(sr)(2x,y + x^2)r] = u''l(sr)partial spartial y(2x,y + x^2) + u'l(sr)partialpartial y(2x,y + x^2)
Como
partial spartial y =2x,y + x^2, partialpartial y(2x,y + x^2) =2x,
segue
partial^2 fpartial y^2 = u''l(sr),(2x,y + x^2)^2 + 2x,u'l(sr)

Resposta

partial^2 fpartial xpartial y = u''l(sr),(y^2 + 2x,y),(2x,y + x^2) + (2x + 2y),u'l(sr), partial^2 fpartial y^2 = u''l(sr),(2x,y + x^2)^2 + 2x,u'l(sr),
onde s=x,y^2 + x^2,y.

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