Encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y, z)=kx^2+y^2+z^2(x i+y j+ z k) ao longo da curva r:[0,2 pi] Re^3 dada por r(t)=(cos (t), sen(t), t). R: k2 ln (1+4 pi^2)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z)=kx^2+y^2+z^2l(xi+yj+zkr)
e C é a curva parametrizada por
r(t)=(cos t,sin t,t), com tin[0,2pi].
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, usando parametrização e cálculo de integrais de funções racionais.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada da parametrização e o quadrado do módulo de r(t):
r'(t)=(-sin t,cos t,1), |r(t)|^2=cos^2t+sin^2t+t^2=1+t^2

Passo 3

Em seguida, avaliamos F em r(t) e fazemos o produto escalar com r'(t):
F(r(t)) =k1+t^2l(cos t,sin t,tr),
F(r(t))cdotr'(t) =k1+t^2l(cos tcdot(-sin t)+sin tcdotcos t+tcdot1r) =k,t1+t^2

Passo 4

O trabalho fica então
W=integral0^2pik,t1+t^2,dt
Fazemos a substituição u=1+t^2, du=2t,dt, logo
integralt1+t^2,dt=12ln(1+t^2)+C
Assim
W=kintegral0^2pit1+t^2,dt =k2l[ln(1+t^2)r]0^2pi =k2lnl(1+4pi^2r)

Resposta

boxedk2lnl(1+4pi^2r)

Exercícios relacionados