Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
, onde
consiste no arco de curva
de
a
e do segmento de reta
a ( 0,0 ). R: 4/3-2
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e é o caminho fechado formado pelo arco
de
a
seguido do segmento de reta de
a
.
Conteúdo: Teorema de Green para converter integral de linha em integral dupla sobre a região limitada por
.
e
Conteúdo: Teorema de Green para converter integral de linha em integral dupla sobre a região
Passo 2
Antes de aplicar o Teorema de Green, verificamos a orientação de
:
– No arco de a
por
, a região
fica abaixo do caminho (à direita do sentido de percurso).
– No segmento de reta de a
, a região
fica também à direita.
Como em ambos trechos a região está à direita, está orientado no sentido horário. Para usar Green, que exige orientação positiva (anti-horária), devemos introduzir um sinal negativo:
– No arco de
– No segmento de reta de
Como em ambos trechos a região está à direita,
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 4
A região
é dada por
Assim
Passo 5
Separamos em duas integrais:
-
Por partes,, dá Então
-
Use. Integração leva a
Portanto
Passo 6
Voltando à integral de linha com o sinal negativo: