Use o Teorema de Green para calcular integralgamma F d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema): F(x, y)=(raizx+y^3, x^2+raizy), onde gamma consiste no arco de curva y=sen(x) de (0,0) a (pi, 0) e do segmento de reta (pi, 0) a ( 0,0 ). R: 4/3-2 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointgammaFcdot dr
onde
F(x,y)=(raizx+y^3,;x^2+raizy)
e gamma é o caminho fechado formado pelo arco y=sin(x) de (0,0) a (pi,0) seguido do segmento de reta de (pi,0) a (0,0).
Conteúdo: Teorema de Green para converter integral de linha em integral dupla sobre a região D limitada por gamma.

Passo 2

Antes de aplicar o Teorema de Green, verificamos a orientação de gamma:
– No arco de (0,0) a (pi,0) por y=sin(x), a região D fica abaixo do caminho (à direita do sentido de percurso).
– No segmento de reta de (pi,0) a (0,0), a região D fica também à direita.
Como em ambos trechos a região está à direita, gamma está orientado no sentido horário. Para usar Green, que exige orientação positiva (anti-horária), devemos introduzir um sinal negativo:
ointgammaFcdot dr =-integral duplaDl(partialpartial xF2-partialpartial yF1r),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialpartial xF2 =partialpartial xl(x^2+raizyr)=2x, partialpartial yF1 =partialpartial yl(raizx+y^3r)=3y^2
Logo o integrando de Green é
2x-3y^2

Passo 4

A região D é dada por
0<= x<=pi, 0<= y<=sin(x)
Assim
integral duplaD(2x-3y^2),dA =integral0^pi!integral0^sin(x)l(2x-3y^2r),dy,dx =integral0^pil[2x,y-;y^3r]y=0^y=sin(x)dx =integral0^pil(2xsin(x)-sin^3(x)r),dx

Passo 5

Separamos em duas integrais:
  1. integral0^pi2xsin(x),dx
    Por partes, u=x, dv=sin(x)dx
    integral0^pixsin(x),dx =l[-xcos(x)+sin(x)r]0^pi =pi
    Então
    integral0^pi2xsin(x),dx=2pi
  2. integral0^pisin^3(x),dx
    Use sin^3x=sin x(1-cos^2x). Integração leva a
    integral0^pisin^3x,dx=tfrac43
Portanto
integral duplaD(2x-3y^2),dA =2pi-43

Passo 6

Voltando à integral de linha com o sinal negativo:
ointgammaFcdot dr =-l(2pi-43r) =43-2pi

Resposta

43-2pi

Exercícios relacionados