Exemplo 10: Ilustre como podemos intuir que
é uma função crescente.
Passo 1
O enunciado pede para entendermos por que a função
é crescente. O conteúdo envolvido é a monotonicidade de funções exponenciais de base maior que 1. Vamos usar duas ideias: a comparação de valores pelo quociente de potências e o sinal da derivada.
Passo 2
Suponha
. Então
e, como a base
, temos
Logo
o que implica
. Isso é exatamente a definição de função crescente.
Passo 3
Agora, pelo cálculo de derivadas, temos
Como
e
para todo
, segue que
Uma derivada sempre positiva também garante que a função seja crescente.
Resposta
A função
é crescente, pois para quaisquer
vale
ou alternativamente sua derivada
é sempre positiva.