Exemplo 10: Ilustre como podemos intuir que f(x)=3^{x} é uma função crescente.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos por que a função
f(x)=3^{x}
é crescente. O conteúdo envolvido é a monotonicidade de funções exponenciais de base maior que 1. Vamos usar duas ideias: a comparação de valores pelo quociente de potências e o sinal da derivada.

Passo 2

Suponha x_{2}>x_{1}. Então x_{2}-x_{1}>0 e, como a base 3>1, temos
3^{\,x_{2}-x_{1}}>1.
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\frac{f(x_{2})}{f(x_{1})} =\frac{3^{x_{2}}}{3^{x_{1}}} =3^{\,x_{2}-x_{1}}>1,
o que implica f(x_{2})>f(x_{1}). Isso é exatamente a definição de função crescente.

Passo 3

Agora, pelo cálculo de derivadas, temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\bigr) =\ln(3)\,3^{x}.
Como \ln(3)>0 e 3^{x}>0 para todo x, segue que
f'(x)=\ln(3)\,3^{x}>0\quad\forall x.
Uma derivada sempre positiva também garante que a função seja crescente.

Resposta

A função f(x)=3^{x} é crescente, pois para quaisquer x_{2}>x_{1} vale
\frac{f(x_{2})}{f(x_{1})}=3^{\,x_{2}-x_{1}}>1,
ou alternativamente sua derivada f'(x)=\ln(3)\,3^{x} é sempre positiva.

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