Calcule \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} ou \frac{\partial z}{\partial t}, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
z=y e^{x}+x e^{y}, x=\cos t, y=\operatorname{sen} t;

Passo 1

O enunciado dá a função
z = y e^{x} + x e^{y},
com as parametrizações
x = \cos t,\qquad y = \sin t,
e pede que se calcule \dfrac{\partial z}{\partial t} (ou seja, \dfrac{dz}{dt}) de dois modos: (A) usando a regra da cadeia e (B) compondo as funções para obter z(t) e derivando diretamente.
Informações relevantes dadas:
  • A função dependente é z(x,y).
  • As variáveis x e y são funções de t: x(t)=\cos t e y(t)=\sin t.
  • Objetivo: obter \dfrac{dz}{dt} por ambos os métodos e verificar que dão o mesmo resultado.

Passo 2

Metodo (A) — regra da cadeia. Primeiro, expor a regra da cadeia para funções de várias variáveis de forma didática:
  • Se z=z(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então a derivada total de z em relação a t é dada por
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada de z em relação a y mantendo x fixo. Também precisamos de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Agora calculamos as derivadas parciais de z. Lembrete de regra importante (produto e exponencial):
  • Derivada de u(x)\,v(x) é u'v+uv' (regra do produto).
  • Derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)} g'(x) (regra da cadeia para exponencial).
Aplicando a derivação parcial em z=y e^{x} + x e^{y}:
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: tratar y como constante. A derivada de y e^{x} em relação a x é y e^{x} (porque y é constante e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}). A derivada de x e^{y} em relação a x é e^{y} (pois e^{y} é constante em relação a x, e \dfrac{d}{dx}x=1). Assim
\frac{\partial z}{\partial x}=y e^{x}+e^{y}.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: tratar x como constante. A derivada de y e^{x} em relação a y é e^{x}. A derivada de x e^{y} em relação a y é x e^{y}. Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{x}+x e^{y}.
Agora calculamos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\bigl(y e^{x}+e^{y}\bigr)(- \sin t)+\bigl(e^{x}+x e^{y}\bigr)\cos t.

Passo 3

Continuando o Método (A): agora substituir x=\cos t e y=\sin t na expressão anterior para obter forma explícita em t. Primeiro escrevemos os termos intermediários (pegando os valores de x e y do enunciado):
y e^{x}=\sin t\,e^{\cos t},\qquad e^{y}=e^{\sin t},\qquad e^{x}=e^{\cos t},\qquad x e^{y}=\cos t\,e^{\sin t}.
Substituindo em
\frac{dz}{dt}=\bigl(y e^{x}+e^{y}\bigr)(- \sin t)+\bigl(e^{x}+x e^{y}\bigr)\cos t
obtemos
\frac{dz}{dt}=\bigl(\sin t\,e^{\cos t}+e^{\sin t}\bigr)(- \sin t)+\bigl(e^{\cos t}+\cos t\,e^{\sin t}\bigr)\cos t.
Agora desenvolvendo os produtos (passo a passo, sem pular conta):
\frac{dz}{dt}=-\sin^2 t\,e^{\cos t}-\sin t\,e^{\sin t}+\cos t\,e^{\cos t}+\cos^2 t\,e^{\sin t}.
Podemos agrupar termos com e^{\cos t} e com e^{\sin t}:
\frac{dz}{dt}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^2 t\bigr)+e^{\sin t}\bigl(\cos^2 t-\sin t\bigr).
Essa é a forma final obtida via regra da cadeia.

Passo 4

Método (B) — compor e derivar diretamente. Primeiro montamos a função composta z(t) substituindo x(t) e y(t) em z:
z(t)=\sin t\,e^{\cos t}+\cos t\,e^{\sin t}.
Agora diferenciamos termo a termo com respeito a t, usando a regra do produto e, quando necessário, a regra da cadeia para a exponencial.
Derivada do primeiro termo u(t)=\sin t\,e^{\cos t}:
  • Pela regra do produto, u'(t)=\cos t\,e^{\cos t}+\sin t\cdot\frac{d}{dt}e^{\cos t}.
  • Aplicando a cadeia em \dfrac{d}{dt}e^{\cos t}=e^{\cos t}\cdot(-\sin t).
  • Assim
\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\,e^{\cos t}\bigr)=\cos t\,e^{\cos t}+\sin t\bigl(e^{\cos t}(-\sin t)\bigr) =\cos t\,e^{\cos t}-\sin^2 t\,e^{\cos t}.
Derivada do segundo termo v(t)=\cos t\,e^{\sin t}:
  • Pela regra do produto, v'(t)=-\sin t\,e^{\sin t}+\cos t\cdot\frac{d}{dt}e^{\sin t}.
  • E \dfrac{d}{dt}e^{\sin t}=e^{\sin t}\cdot\cos t.
  • Assim
\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\,e^{\sin t}\bigr)=-\sin t\,e^{\sin t}+\cos^2 t\,e^{\sin t}.
Somando u'(t)+v'(t) obtemos
\frac{dz}{dt}=\bigl(\cos t\,e^{\cos t}-\sin^2 t\,e^{\cos t}\bigr)+\bigl(-\sin t\,e^{\sin t}+\cos^2 t\,e^{\sin t}\bigr).
Agrupando os termos exatamente como no Método (A),
\frac{dz}{dt}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^2 t\bigr)+e^{\sin t}\bigl(\cos^2 t-\sin t\bigr).
Portanto os dois métodos dão a mesma expressão, como esperado.

Passo 5

Resumo final e comentário amigável: a forma detalhada mostrou duas maneiras equivalentes de obter \dfrac{dz}{dt}. A regra da cadeia exige calcular as derivadas parciais e multiplicar por dx/dt e dy/dt; compor primeiro e derivar direto usa produto+cadeia sobre funções de t. Ambas as rotas levam à mesma expressão final, que é conveniente deixar na forma agrupada por e^{\cos t} e e^{\sin t}.

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\sin^2 t\bigr)+e^{\sin t}\bigl(\cos^2 t-\sin t\bigr).

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