Calcule
e
ou
, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
com as parametrizações
e pede que se calcule
(ou seja,
) de dois modos: (A) usando a regra da cadeia e (B) compondo as funções para obter
e derivando diretamente.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função dependente é
. - As variáveis
e são funções de : e . - Objetivo: obter
por ambos os métodos e verificar que dão o mesmo resultado.
Passo 2
Metodo (A) — regra da cadeia. Primeiro, expor a regra da cadeia para funções de várias variáveis de forma didática:
- Se
e , então a derivada total de em relação a é dada por
Aqui
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo. Também precisamos de
e
.
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Lembrete de regra importante (produto e exponencial):
- Derivada de
é (regra do produto). - Derivada de
é (regra da cadeia para exponencial).
Aplicando a derivação parcial em
:
- Para
: tratar como constante. A derivada de em relação a é (porque é constante e ). A derivada de em relação a é (pois é constante em relação a , e ). Assim
- Para
: tratar como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é . Portanto
Agora calculamos
e
:
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 3
Continuando o Método (A): agora substituir
e
na expressão anterior para obter forma explícita em
. Primeiro escrevemos os termos intermediários (pegando os valores de
e
do enunciado):
Substituindo em
obtemos
Agora desenvolvendo os produtos (passo a passo, sem pular conta):
Podemos agrupar termos com
e com
:
Essa é a forma final obtida via regra da cadeia.
Passo 4
Método (B) — compor e derivar diretamente. Primeiro montamos a função composta
substituindo
e
em
:
Agora diferenciamos termo a termo com respeito a
, usando a regra do produto e, quando necessário, a regra da cadeia para a exponencial.
Derivada do primeiro termo
:
- Pela regra do produto,
. - Aplicando a cadeia em
. - Assim
Derivada do segundo termo
:
- Pela regra do produto,
. - E
. - Assim
Somando
obtemos
Agrupando os termos exatamente como no Método (A),
Portanto os dois métodos dão a mesma expressão, como esperado.
Passo 5
Resumo final e comentário amigável: a forma detalhada mostrou duas maneiras equivalentes de obter
. A regra da cadeia exige calcular as derivadas parciais e multiplicar por
e
; compor primeiro e derivar direto usa produto+cadeia sobre funções de
. Ambas as rotas levam à mesma expressão final, que é conveniente deixar na forma agrupada por
e
.