Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
z=x^{2}-3 y em P=(0,0), na direção do vetor (1,2);

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional da função z=x^{2}-3y no ponto P=(0,0) na direção do vetor (1,2).
Informações dadas:
  • Função: f(x,y)=x^{2}-3y.
  • Ponto onde se avalia: P=(0,0).
  • Vetor direção (não necessariamente unitário): \mathbf{v}=(1,2).
Objetivo claro: encontrar a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{v}. A derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção indicada por \mathbf{v}.

Passo 2

Definição da derivada direcional (a ideia e a fórmula que vamos usar).
  • Intuitivamente: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é a inclinação de f quando se vai de P nessa direção.
  • Fórmula pelo limite (definição): a derivada direcional de f em P na direção unitária \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{t\to0}\frac{f(P+t\mathbf{u})-f(P)}{t}.
Aqui t é um número real pequeno que indica o quanto nos deslocamos; \mathbf{u} deve ser unitário (norma igual a 1) para que o valor represente taxa por unidade de comprimento na direção escolhida.
  • Fórmula prática via gradiente (quando f é diferenciável): se \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \mathbf{u} é unitário, então
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, produto escalar entre o gradiente e a direção unitária. Essa fórmula é muito útil na prova porque evita calcular o limite diretamente.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f(x,y) da função f(x,y)=x^{2}-3y.
  • As componentes do gradiente são as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3.
Explanação: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x varia; derivando x^{2} em relação a x 2x e -3y é constante em x. \frac{\partial f}{\partial y} deriva apenas a parte -3y em relação a y, resultando em -3.
  • Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y)=(2x,\,-3).
  • Avaliando no ponto P=(0,0):
\displaystyle \nabla f(0,0)=(2\cdot 0,\,-3)=(0,\,-3).

Passo 4

Converter o vetor direção dado \mathbf{v}=(1,2) em vetor unitário \mathbf{u}.
  • Norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Vetor unitário na mesma direção:
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Explicação: dividir pelo comprimento transforma o vetor em um com norma 1, que é exigido na definição da derivada direcional.

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto escalar entre \nabla f(0,0) e \mathbf{u} para obter a derivada direcional.
  • Produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot \mathbf{u}=(0,\,-3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
  • Calcular componente a componente:
(0)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+(-3)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=0-\frac{6}{\sqrt{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}.
Interpretação: ao mover-se a partir de P na direção (1,2) a função diminui com taxa \frac{6}{\sqrt{5}} por unidade de comprimento na direção, por isso o sinal negativo.

Passo 6

Verificação rápida pelo limite (checagem usando a definição) — opcional mas didático.
  • Usando a definição,
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f\big((0,0)+t\mathbf{u}\big)-f(0,0)}{t}.
  • Substituindo f e \mathbf{u}:
f\big(t\mathbf{u}\big)=\left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)^{2}-3\left(\frac{2t}{\sqrt{5}}\right)=\frac{t^{2}}{5}-\frac{6t}{\sqrt{5}}.
  • Então
\frac{f(t\mathbf{u})-f(0,0)}{t}=\frac{\tfrac{t^{2}}{5}-\tfrac{6t}{\sqrt{5}}}{t}=\frac{t}{5}-\frac{6}{\sqrt{5}}.
  • Tomando t\to0 o termo \tfrac{t}{5} some, sobrando -\tfrac{6}{\sqrt{5}}, que confirma o resultado obtido pelo gradiente.

Resposta

-\dfrac{6}{\sqrt{5}}

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