Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
em
, na direção do vetor
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde se avalia:
. - Vetor direção (não necessariamente unitário):
.
Objetivo claro: encontrar a derivada direcional de
em
na direção de
. A derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção indicada por
.
Passo 2
Definição da derivada direcional (a ideia e a fórmula que vamos usar).
- Intuitivamente: a derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário é a inclinação de quando se vai de nessa direção. - Fórmula pelo limite (definição): a derivada direcional de
em na direção unitária é
Aqui
é um número real pequeno que indica o quanto nos deslocamos;
deve ser unitário (norma igual a
) para que o valor represente taxa por unidade de comprimento na direção escolhida.
- Fórmula prática via gradiente (quando
é diferenciável): se é o gradiente de em e é unitário, então
ou seja, produto escalar entre o gradiente e a direção unitária. Essa fórmula é muito útil na prova porque evita calcular o limite diretamente.
Passo 3
Calcular o gradiente
da função
.
- As componentes do gradiente são as derivadas parciais:
Explanação:
é a taxa de variação de
quando só
varia; derivando
em relação a
dá
e
é constante em
.
deriva apenas a parte
em relação a
, resultando em
.
- Portanto o gradiente é
- Avaliando no ponto
:
Passo 4
Converter o vetor direção dado
em vetor unitário
.
- Norma de
:
- Vetor unitário na mesma direção:
Explicação: dividir pelo comprimento transforma o vetor em um com norma
, que é exigido na definição da derivada direcional.
Passo 5
Aplicar a fórmula do produto escalar entre
e
para obter a derivada direcional.
- Produto escalar:
- Calcular componente a componente:
Interpretação: ao mover-se a partir de
na direção
a função diminui com taxa
por unidade de comprimento na direção, por isso o sinal negativo.
Passo 6
Verificação rápida pelo limite (checagem usando a definição) — opcional mas didático.
- Usando a definição,
- Substituindo
e :
- Então
- Tomando
o termo some, sobrando , que confirma o resultado obtido pelo gradiente.