Prove as seguintes regras formais do cálculo com gradientes:
\nabla \frac{f}{g}=\frac{g \nabla f-f \nabla g}{g^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\nabla\frac{f}{g}=\frac{g\,\nabla f - f\,\nabla g}{g^{2}}.
Informações e hipóteses necessárias (assuma isto como dado):
  • f e g são funções f,g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} diferenciáveis no ponto (ou em uma região) em que se trabalha.
  • g(x)\neq 0 nessa região (para que \tfrac{f}{g} esteja bem definida).
    O objetivo é obter a fórmula do gradiente de \tfrac{f}{g} em termos dos gradientes de f e g.

Passo 2

Definição do gradiente e das derivadas parciais (relembrando devagar).
  • O gradiente de uma função escalar h:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla h = \bigl(\partial_{x_{1}}h,\partial_{x_{2}}h,\dots,\partial_{x_{n}}h\bigr).
  • A derivada parcial \partial_{x_{i}}h é a derivada de h em relação à variável x_{i}, mantendo as outras variáveis fixas.
    Para provar a identidade do gradiente basta provar que cada componente \partial_{x_{i}} satisfaz a regra de quociente:
\partial_{x_{i}}\!\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\,\partial_{x_{i}}f - f\,\partial_{x_{i}}g}{g^{2}}.

Passo 3

Escrever o quociente como produto com função inversa (isso facilita aplicar regras conhecidas).
Defina a função
h := \frac{f}{g} = f\cdot g^{-1},
onde g^{-1} significa a função ponto a ponto x\mapsto \bigl(g(x)\bigr)^{-1}.

Passo 4

Lembrar a regra do produto para derivadas parciais (explicando por que vale).
Se u e v são funções diferenciáveis, então para cada índice i vale
\partial_{x_{i}}(u v) = (\partial_{x_{i}}u)\,v + u\,(\partial_{x_{i}}v).
Intuição: derivar o produto é derivar a primeira mantendo a segunda + derivar a segunda mantendo a primeira. Essa regra é válida componente a componente para funções de várias variáveis.

Passo 5

Aplicar a regra do produto ao caso u=f e v=g^{-1}.
Para cada i temos
\partial_{x_{i}}\!\left(f\,g^{-1}\right) = (\partial_{x_{i}}f)\,g^{-1} + f\,\partial_{x_{i}}\!\left(g^{-1}\right).

Passo 6

Calcular \partial_{x_{i}}\!\left(g^{-1}\right) usando a regra da cadeia.
Considere a função escalar univariada \varphi(t)=t^{-1}. A derivada de \varphi é \varphi'(t)=-t^{-2}.
Aplicando a regra da cadeia à composição \varphi\circ g = g^{-1} obtemos, para cada i,
\partial_{x_{i}}\!\left(g^{-1}\right) = \varphi'(g)\,\partial_{x_{i}}g = -g^{-2}\,\partial_{x_{i}}g.
Aqui g^{-2} significa \bigl(g(x)\bigr)^{-2}.

Passo 7

Substituir o resultado do Passo 6 na expressão do Passo 5 e simplificar.
Temos
\partial_{x_{i}}\!\left(\frac{f}{g}\right) = (\partial_{x_{i}}f)\,g^{-1} + f\bigl(-g^{-2}\,\partial_{x_{i}}g\bigr).
Colocando sobre um denominador comum g^{2}:
\partial_{x_{i}}\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,\partial_{x_{i}}f}{g^{2}} - \frac{f\,\partial_{x_{i}}g}{g^{2}} = \frac{g\,\partial_{x_{i}}f - f\,\partial_{x_{i}}g}{g^{2}}.

Passo 8

Juntar as componentes para formar o gradiente completo.
Como a igualdade anterior vale para todo índice i=1,\dots,n, reunindo as componentes obtemos o vetor gradiente
\nabla\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,\nabla f - f\,\nabla g}{g^{2}}.
Essa é exatamente a identidade que queríamos provar.

Passo 9

Exemplo numérico para fixar a ideia (checagem).
Tome f(x,y)=x+y e g(x,y)=x^{2}+y^{2}+1. Então
\nabla f = (1,1),\qquad \nabla g = (2x,2y).
Aplicando a fórmula,
\nabla\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,(1,1) - (x+y)\,(2x,2y)}{g^{2}}.
Em (x,y)=(1,0) isso dá
f=1,\quad g=2,\quad \nabla f=(1,1),\quad \nabla g=(2,0),
\nabla\!\left(\frac{f}{g}\right)\Big|_{(1,0)} = \frac{2(1,1) - 1(2,0)}{4} = \frac{(0,2)}{4} = \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr),
o que confere com o cálculo direto das derivadas parciais deste quociente.

Passo 10

Observações finais e hipóteses necessárias.
  • A demonstração usa a regra do produto e a regra da cadeia: são válidas porque f e g são diferenciáveis.
  • É essencial que g não seja zero no ponto (ou região) considerado, senão g^{-1} e g^{-2} não estão definidas.
  • Com isso a identidade está provada e é aplicável sempre que essas hipóteses forem satisfeitas.

Resposta

\nabla\frac{f}{g}=\frac{g\,\nabla f - f\,\nabla g}{g^{2}}

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