Prove as seguintes regras formais do cálculo com gradientes:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a identidade
Informações e hipóteses necessárias (assuma isto como dado):
-
e são funções diferenciáveis no ponto (ou em uma região) em que se trabalha. -
nessa região (para que esteja bem definida).
O objetivo é obter a fórmula do gradiente deem termos dos gradientes de e .
Passo 2
Definição do gradiente e das derivadas parciais (relembrando devagar).
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- A derivada parcial
é a derivada de em relação à variável , mantendo as outras variáveis fixas.
Para provar a identidade do gradiente basta provar que cada componentesatisfaz a regra de quociente:
Passo 3
Escrever o quociente como produto com função inversa (isso facilita aplicar regras conhecidas).
Defina a função
Defina a função
onde
significa a função ponto a ponto
.
Passo 4
Lembrar a regra do produto para derivadas parciais (explicando por que vale).
Se e
são funções diferenciáveis, então para cada índice
vale
Se
Intuição: derivar o produto é derivar a primeira mantendo a segunda + derivar a segunda mantendo a primeira. Essa regra é válida componente a componente para funções de várias variáveis.
Passo 5
Aplicar a regra do produto ao caso
e
.
Para cada temos
Para cada
Passo 6
Calcular
usando a regra da cadeia.
Considere a função escalar univariada . A derivada de
é
.
Aplicando a regra da cadeia à composição obtemos, para cada
,
Considere a função escalar univariada
Aplicando a regra da cadeia à composição
Aqui
significa
.
Passo 7
Substituir o resultado do Passo 6 na expressão do Passo 5 e simplificar.
Temos
Temos
Colocando sobre um denominador comum
:
Passo 8
Juntar as componentes para formar o gradiente completo.
Como a igualdade anterior vale para todo índice , reunindo as componentes obtemos o vetor gradiente
Como a igualdade anterior vale para todo índice
Essa é exatamente a identidade que queríamos provar.
Passo 9
Exemplo numérico para fixar a ideia (checagem).
Tome e
. Então
Tome
Aplicando a fórmula,
Em
isso dá
o que confere com o cálculo direto das derivadas parciais deste quociente.
Passo 10
Observações finais e hipóteses necessárias.
- A demonstração usa a regra do produto e a regra da cadeia: são válidas porque
e são diferenciáveis. - É essencial que
não seja zero no ponto (ou região) considerado, senão e não estão definidas. - Com isso a identidade está provada e é aplicável sempre que essas hipóteses forem satisfeitas.