Calcule:
\quad \sin (2 x), \quad sabendo que \sin (x)=\frac{1}{2}, \cos (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \sin(x)=\dfrac{1}{2}.
  • \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
O que ele pede:
  • Calcular \sin(2x).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a fórmula que liga \sin(2x) com \sin(x) e \cos(x).
A fórmula de soma de ângulos para o seno diz que, para quaisquer ângulos a e b,
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b).
Se escolhermos a=b=x, obtemos
\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)=2\sin(x)\cos(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • \sin(\cdot) é a função seno (dá a razão entre cateto oposto e hipotenusa num triângulo retângulo ou a ordenada no círculo unitário).
  • \cos(\cdot) é a função cosseno (dá a razão entre cateto adjacente e hipotenusa ou a abcissa no círculo unitário).
  • x é o ângulo dado.
    A identidade final que vamos usar é
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).

Passo 3

Substituímos os valores fornecidos na identidade. Temos:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Agora fazemos a multiplicação passo a passo:
2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)=1,
portanto
\sin(2x)=1\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Checagem rápida (opcional, para dar confiança): como \sin(x)=\dfrac{1}{2} e \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, x está no primeiro quadrante (valores positivos) e corresponde a x=\dfrac{\pi}{6}. Então 2x=\dfrac{\pi}{3} e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados