Calcule por frações parciais a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x
onde:
P(x)=4 x+1, Q(x)=x^{2}+6 x+12

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
onde as funções são dadas por
P(x)=4x+1,\qquad Q(x)=x^{2}+6x+12.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\deg P=1,\qquad \deg Q=2.
Também é útil notar que o discriminante de Q é
\Delta = 6^{2}-4\cdot1\cdot12=36-48=-12<0,
ou seja, Q(x) não tem raízes reais (é sempre positiva para todo x). A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicado com jeitinho): como temos uma função racional com \deg P<\deg Q, a técnica natural é frações parciais. Para polinômio quadrático irreducível (sem raízes reais) a decomposição geral seria tentar escrever
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{Ax+B}{Q(x)}.
Mas uma forma ainda mais prática, muito usada em provas, é escrever o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante:
P(x)=A\,Q'(x)+B.
Por que isso ajuda? Porque
\frac{Q'(x)}{Q(x)}
integra-se para \ln|Q(x)| (fácil por substituição), e o termo com B vira uma integral do tipo \int \frac{dx}{\text{quadrática}}á, que se resolve completando quadrado e usando arctan. Essa estratégia é mais direta e menos trabalho do que separar em várias frações.

Passo 3

Aplicando a ideia: calcule Q'(x)\) e ache \(A\) e \(B\). \[Q'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+6x+12\big)=2x+6.
Queremos 4x+1=A(2x+6)+B. Desenvolvendo:
A(2x+6)+B = 2A x + 6A + B.
Igualando coeficientes com 4x+1:
\begin{cases} 2A = 4\\[4pt] 6A + B = 1 \end{cases}
Da primeira equação obtemos (A=2]. Substituindo na segunda:
6\cdot2 + B = 1 \implies 12 + B = 1 \implies B=-11.]

Passo 4

Reescrevendo a integral e integrando o primeiro termo: com A=2 e B=-11,
\frac{4x+1}{Q(x)} = 2\frac{Q'(x)}{Q(x)} - 11\frac{1}{Q(x)}.
Logo
\int \frac{4x+1}{Q(x)}\,dx = 2\int \frac{Q'(x)}{Q(x)}\,dx -11\int \frac{dx}{Q(x)}.
O primeiro integrando é direto por substituição: se t=Q(x) então dt=Q'(x)dx, logo
\int \frac{Q'(x)}{Q(x)}\,dx = \ln|Q(x)| + C.
Portanto a parte correspondente é
2\int \frac{Q'(x)}{Q(x)}\,dx = 2\ln|Q(x)|.

Passo 5

Integrando a segunda parte usando completar o quadrado e fórmula do arctan: precisamos calcular
\int \frac{dx}{x^{2}+6x+12}.
Completa-se o quadrado em Q(x):
x^{2}+6x+12 = (x+3)^{2}+3.
Faça a substituição u=x+3, então du=dx e a integral vira
\int \frac{dx}{(x+3)^{2}+3}=\int \frac{du}{u^{2}+(\sqrt{3})^{2}}.
Agora usamos a fórmula básica (e eu explico por que ela vale): para constante a>0,
\frac{d}{du}\big(\arctan(u/a)\big)=\frac{1}{1+(u/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{a}{u^{2}+a^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{u^{2}+a^{2}}.
Daí
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
No nosso caso a=\sqrt{3}, então
\int \frac{du}{u^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)+C =\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right)+C.
Multiplicando pelo fator -11 que aparece na decomposição,
-11\int \frac{dx}{Q(x)} = -\frac{11}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Juntando as duas partes (log e arctan) e incluindo a constante de integração final, obtemos a primitiva procurada:
\int \frac{4x+1}{x^{2}+6x+12}\,dx =2\ln\big|x^{2}+6x+12\big| - \frac{11}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C.
Observação amigável: como x^{2}+6x+12>0 para todo x (discriminante negativo), poderíamos tirar as barras e escrever \ln(x^{2}+6x+12), mas é costume deixar |\cdot| na função logaritmo para generalidade.

Resposta

2\ln\big|x^{2}+6x+12\big| - \frac{11}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C

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