ou seja, Q(x) não tem raízes reais (é sempre positiva para todo x). A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicado com jeitinho): como temos uma função racional com \deg P<\deg Q, a técnica natural é frações parciais. Para polinômio quadrático irreducível (sem raízes reais) a decomposição geral seria tentar escrever
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{Ax+B}{Q(x)}.
Mas uma forma ainda mais prática, muito usada em provas, é escrever o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante:
P(x)=A\,Q'(x)+B.
Por que isso ajuda? Porque
\frac{Q'(x)}{Q(x)}
integra-se para \ln|Q(x)| (fácil por substituição), e o termo com B vira uma integral do tipo \int \frac{dx}{\text{quadrática}}, que se resolve completando quadrado e usando arctan. Essa estratégia é mais direta e menos trabalho do que separar em várias frações.
Passo 3
Aplicando a ideia: calcule Q'(x)\) e ache \(A\) e \(B\).
\[Q'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+6x+12\big)=2x+6.
Queremos 4x+1=A(2x+6)+B. Desenvolvendo:
A(2x+6)+B = 2A x + 6A + B.
Igualando coeficientes com 4x+1:
\begin{cases} 2A = 4\\[4pt] 6A + B = 1 \end{cases}
Da primeira equação obtemos (A=2]. Substituindo na segunda: 6\cdot2 + B = 1 \implies 12 + B = 1 \implies B=-11.]
Passo 4
Reescrevendo a integral e integrando o primeiro termo: com A=2 e B=-11,
Juntando as duas partes (log e arctan) e incluindo a constante de integração final, obtemos a primitiva procurada:
\int \frac{4x+1}{x^{2}+6x+12}\,dx =2\ln\big|x^{2}+6x+12\big| - \frac{11}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C.
Observação amigável: como x^{2}+6x+12>0 para todo x (discriminante negativo), poderíamos tirar as barras e escrever \ln(x^{2}+6x+12), mas é costume deixar |\cdot| na função logaritmo para generalidade.
Resposta
2\ln\big|x^{2}+6x+12\big| - \frac{11}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C