Calcule a frequência de oscilação livre em um circuito LC.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de oscilação livre de um circuito LC ideal, ou seja, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C ligados em malha. O conteúdo envolvido é a aplicação da segunda lei de Kirchhoff (KVL) para obter uma equação diferencial em q(t) (carga no capacitor) e reconhecer sua forma de oscilador harmônico.

Passo 2

Escrevemos a KVL ao redor da malha. A tensão no indutor é L\,\frac{di}{dt} e a tensão no capacitor é \frac{q}{C}. Como i(t)=\frac{dq}{dt}, temos
L\,\frac{d}{dt}\biggl(\frac{dq}{dt}\biggr) \;+\;\frac{q}{C}\;=\;0.

Passo 3

Simplificando a derivada, a equação diferencial fica
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}} \;+\;\frac{1}{C}\,q \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}q}{dt^{2}} \;+\;\frac{1}{L\,C}\,q \;=\;0.

Passo 4

Reconhecemos \frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2}\,q = 0, que é a equação de um oscilador harmônico simples com
\omega_{0}^{2} = \frac{1}{L\,C} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{0} = \sqrt{\frac{1}{L\,C}}.

Passo 5

A frequência de oscilação livre f_{0} está relacionada à frequência angular por
f_{0} = \frac{\omega_{0}}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{\frac{1}{L\,C}}.

Resposta

f_{0} = \frac{1}{2\pi\,\sqrt{L\,C}}

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