Calcule integralgamma(x^2 y-cos (x)+y^22) d x+(x y+sen(y)) d y em que gamma é a fronteira da região do plano limitada pelas curvas y=x^2+x e y=-x^2+x+2, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede
integralgammal(x^2y-cos(x)+tfracy^22r),dx+l(xy+sen(y)r),dy
onde gamma é a fronteira, orientada no sentido anti-horário, da região R limitada pelas curvas
y = x^2+x e y = -x^2+x+2
Como gamma é fechada e simples, aplicamos o Teorema de Green:
integralgammaP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^2y-cos(x)+tfracy^22, Q(x,y)=xy+sen(y)
Então
partial Qpartial x=y, partial Ppartial y=x^2+y,
e o integrando de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =y-l(x^2+yr)=-x^2

Passo 3

Determinamos o domínio R projetado no eixo x. As curvas se intersectam quando
x^2+x = -x^2+x+2 ;Longrightarrow; 2x^2=2 ;Longrightarrow; x=pm1
Para cada xin[-1,1], y varia de
yinf=x^2+x até ysup=-x^2+x+2 é

Passo 4

Pela fórmula de Green,
integralgammaP,dx+Q,dy =integral duplaR(-x^2),dA =integralx=-1^1!integraly=x^2+x^-x^2+x+2(-x^2),dy,dx
Fazendo a integral interna em y:
integraly=x^2+x^-x^2+x+2(-x^2),dy =-x^2l[(-x^2+x+2)-(x^2+x)r] =-x^2cdot2(1-x^2)

Passo 5

Logo a integral em x é
integral-1^1-2x^2(1-x^2),dx =-2integral-1^1(x^2-x^4),dx
Como
integral-1^1x^2,dx=tfrac23, integral-1^1x^4,dx=tfrac25,
temos
integral-1^1(x^2-x^4),dx =tfrac23-tfrac25 =tfrac415,
portanto
-2cdottfrac415=-tfrac815

Resposta

-815

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