Seja F(x, y)=(3 x^2+2 raiz1+y, xraiz1+y+y^3).
Calcule integralgamma F d gamma com gamma o gráfico de (x-1)^2+4(y-2)^2=1.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y) = 3x^2 + 2raiz1+y, Q(x,y) = xraiz1+y + y^3,
e pede o integral de linha fechado
integralgammavec Fcdot dgamma
onde gamma é a elipse (x-1)^2 +4(y-2)^2=1.
O conteúdo aqui é reconhecimento de campo conservativo e cálculo de potencial.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2raiz1+yr) = 22raiz1+y = 1raiz1+y,
partial Qpartial x = partialpartial x!l(xraiz1+yr) = 1raiz1+y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x e a região interior à elipse está em y>-1 (um domínio simplesmente conectado), vec F é conservativo.

Passo 3

Podemos então achar uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = P e phiy = Q.
Integrando phix = 3x^2 + 2raiz1+y em relação a x,
phi(x,y) = x^3 + 2xraiz1+y + h(y)
Derivando em y e igualando a Q:
phiy = xraiz1+y + h'(y) overset!= xraiz1+y + y^3 ;Longrightarrow;h'(y)=y^3 ;Longrightarrow;h(y)=y^44
Logo
phi(x,y) = x^3 + 2xraiz1+y + y^44
Num campo conservativo, o integral fechado é
phil(inicialr)-phil(inicialr)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados