Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime-3 x=cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y^prime - 3x = cos x . Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo, principalmente a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y^prime :
y^prime = 3x + cos x
Isso facilita a visualização de como proceder.

Passo 3

Agora, entendemos que y^prime é a derivada de y em relação a x . Para encontrar y , precisamos integrar ambos os lados da equação com relação a x :
integral y^prime , dx = integral (3x + cos x) , dx

Passo 4

Integrando o lado esquerdo, a integral de y^prime em relação a x simplesmente nos dá y :
y = integral 3x , dx + integral cos x , dx

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 3x :
integral 3x , dx = 32x^2
Em seguida, a integral de cos x :
integral cos x , dx = sin x

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
y = 32x^2 + sin x + C
Aqui, C é a constante de integração, que aparece porque estamos resolvendo uma equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 32x^2 + sin x + C

Exercícios relacionados