Substituição: Este método se aplica a integrais da forma
. Calcule a primitiva para as seguintes funções:
; repita o cálculo substituindo o cosseno (seno) pelo seno (cosseno);
;
;
;
Passo 1
Então, temos uma lista de integrais para calcular usando o método de substituição. O método de substituição é útil quando a integral tem a forma
. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar cada integral e encontrar sua primitiva.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
, onde
.
Substituição:
Escolhemos . Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Escolhemos
Reescrevendo a integral:
A integral original fica:
A integral original fica:
Calculando a integral:
Voltando para
:
Substituímos de volta por
:
Substituímos
Passo 3
Próxima função: vamos repetir o cálculo, substituindo o cosseno pelo seno.
Considerando a função
(note que ao substituir o cosseno pelo seno, a derivada de
é
).
Substituição:
Escolhemos . Então,
.
Escolhemos
Reescrevendo a integral:
Calculando a integral:
Voltando para
:
Passo 4
Terceira função:
.
Substituição:
Aqui, escolhemos . Assim,
, ou seja,
. Precisamos ajustar a integral para se adequar à substituição.
Aqui, escolhemos
Reescrevendo a integral:
Primeiro, expressamos em termos de
:
Primeiro, expressamos
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Voltando para
:
Passo 5
Quarta função:
.
Substituição:
Observamos que . Mas para simplificar, escolhemos
. Então,
, ou seja,
.
Observamos que
Reescrevendo a integral:
Podemos simplificar
usando a identidade
:
Calculando a integral:
Voltando para
:
Passo 6
Última função:
.
Substituição:
Vamos definir . Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Vamos definir
Reescrevendo a integral:
A integral original fica:
A integral original fica:
Aqui, cancelamos
no numerador e denominador.
Calculando a integral:
Voltando para
:
Resposta
As primitivas das funções dadas são: