Substituição: Este método se aplica a integrais da forma integral F(f(x)) f^prime(x) dx. Calcule a primitiva para as seguintes funções: f(x)=(sin x)^n cos x, n=1,2,cdots; repita o cálculo substituindo o cosseno (seno) pelo seno (cosseno); f(x)=xe^x^2; f(x)=x sin x^2 cos x^2; f(x)=e^x e^e^x;

Passo 1

Então, temos uma lista de integrais para calcular usando o método de substituição. O método de substituição é útil quando a integral tem a forma integral F(f(x)) f'(x) dx. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar cada integral e encontrar sua primitiva.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: f(x) = (sin x)^n cos x , onde n = 1, 2, ldots .
Substituição:
Escolhemos u = sin x . Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = cos x , ou seja, du = cos x , dx .
Reescrevendo a integral:
A integral original fica:
integral (sin x)^n cos x , dx = integral u^n , du
Calculando a integral:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Voltando para x :
Substituímos u de volta por sin x :
(sin x)^n+1n+1 + C

Passo 3

Próxima função: vamos repetir o cálculo, substituindo o cosseno pelo seno.
Considerando a função f(x) = (cos x)^n (-sin x) (note que ao substituir o cosseno pelo seno, a derivada de cos x é -sin x ).
Substituição:
Escolhemos u = cos x . Então, du = -sin x , dx .
Reescrevendo a integral:
integral (cos x)^n (-sin x) , dx = integral u^n , du
Calculando a integral:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Voltando para x :
(cos x)^n+1n+1 + C

Passo 4

Terceira função: f(x) = x e^x^2 .
Substituição:
Aqui, escolhemos u = x^2 . Assim, du/dx = 2x , ou seja, du = 2x , dx . Precisamos ajustar a integral para se adequar à substituição.
Reescrevendo a integral:
Primeiro, expressamos x , dx em termos de du :
x , dx = du2
Então, a integral fica:
integral x e^x^2 , dx = 12 integral e^u , du
Calculando a integral:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Voltando para x :
12 e^x^2 + C

Passo 5

Quarta função: f(x) = x sin x^2 cos x^2 .
Substituição:
Observamos que sin x^2 cos x^2 = 12 sin (2x^2) . Mas para simplificar, escolhemos u = x^2 . Então, du = 2x , dx , ou seja, x , dx = du2 .
Reescrevendo a integral:
integral x sin x^2 cos x^2 , dx = 12 integral sin u cos u , du
Podemos simplificar sin u cos u usando a identidade sin u cos u = 12 sin (2u):
12 integral 12 sin (2u) , du = 14 integral sin (2u) , du
Calculando a integral:
14 ( -cos (2u)2 ) + C = -18 cos (2u) + C
Voltando para x :
-18 cos (2x^2) + C

Passo 6

Última função: f(x) = e^x e^e^x .
Substituição:
Vamos definir u = e^x . Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = e^x , ou seja, du = e^x , dx .
Reescrevendo a integral:
A integral original fica:
integral e^x e^e^x , dx = integral u cdot e^u cdot duu = integral e^u , du
Aqui, cancelamos u no numerador e denominador.
Calculando a integral:
integral e^u , du = e^u + C
Voltando para x :
e^e^x + C

Resposta

As primitivas das funções dadas são:
  1. (sin x)^n+1n+1 + C
  2. (cos x)^n+1n+1 + C
  3. 12 e^x^2 + C
  4. -18 cos (2x^2) + C
  5. e^e^x + C

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