Integração por partes: Considere a função
, onde
. Usando, por duas vezes, o método de integração por partes, calcule a integral indefinida
(ou dito de maneira equivalente, calcule a primitiva de
). Repetir o cálculo substituindo o cosseno pelo seno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de integração por partes com a função
. O conteúdo envolvido aqui é o método de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar entender como aplicar esse método duas vezes para encontrar a primitiva de
, e depois repetir o processo substituindo o cosseno pelo seno.
Passo 2
Primeiro, lembremos como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples ao derivar e
como a que podemos integrar facilmente.
Passo 3
Para a nossa função
, vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo:
Derivando e integrando:
Passo 6
Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na equação anterior:
Vamos simplificar:
Passo 8
Agora, vamos chamar
. Substituindo:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 9
Então, a primitiva de
é:
Passo 10
Agora, vamos repetir o cálculo substituindo o cosseno pelo seno, ou seja, calcular
.
Passo 11
Seguindo um processo similar, após aplicar integração por partes duas vezes e resolver para a integral, obtemos:
Resposta
A primitiva da função
é:
E a primitiva substituindo o cosseno pelo seno é: