Integração por partes: Considere a função f(x)=e^ax cos(bx): R R, onde a,b in R. Usando, por duas vezes, o método de integração por partes, calcule a integral indefinida integral f(x) dx (ou dito de maneira equivalente, calcule a primitiva de f(x) ). Repetir o cálculo substituindo o cosseno pelo seno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de integração por partes com a função f(x) = e^ax cos(bx) . O conteúdo envolvido aqui é o método de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar entender como aplicar esse método duas vezes para encontrar a primitiva de f(x) , e depois repetir o processo substituindo o cosseno pelo seno.

Passo 2

Primeiro, lembremos como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u e o que será dv . Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar e dv como a que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Para a nossa função f(x) = e^ax cos(bx) , vamos escolher:
u = e^ax e dv = cos(bx) , dx
Agora, vamos derivar u e integrar dv :
du = a e^ax , dx e v = sin(bx)b

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^ax cos(bx) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores:
= e^ax cdot sin(bx)b - integral sin(bx)b cdot a e^ax , dx
= e^ax sin(bx)b - ab integral e^ax sin(bx) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral e^ax sin(bx) , dx . Vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo:
u = e^ax e dv = sin(bx) , dx
Derivando e integrando:
du = a e^ax , dx e v = -cos(bx)b

Passo 6

Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
integral e^ax sin(bx) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
= e^ax cdot ( -cos(bx)b ) - integral ( -cos(bx)b ) cdot a e^ax , dx
= -e^ax cos(bx)b + ab integral e^ax cos(bx) , dx

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na equação anterior:
integral e^ax cos(bx) , dx = e^ax sin(bx)b - ab ( -e^ax cos(bx)b + ab integral e^ax cos(bx) , dx )
Vamos simplificar:
= e^ax sin(bx)b + a e^ax cos(bx)b^2 - a^2b^2 integral e^ax cos(bx) , dx

Passo 8

Agora, vamos chamar I = integral e^ax cos(bx) , dx . Substituindo:
I = e^ax sin(bx)b + a e^ax cos(bx)b^2 - a^2b^2 I
Agora, vamos resolver para I :
I + a^2b^2 I = e^ax sin(bx)b + a e^ax cos(bx)b^2
I ( 1 + a^2b^2 ) = e^ax sin(bx)b + a e^ax cos(bx)b^2
I = e^axb^2 + a^2 ( b sin(bx) + a cos(bx) ) + C

Passo 9

Então, a primitiva de f(x) = e^ax cos(bx) é:
integral e^ax cos(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 ( a cos(bx) + b sin(bx) ) + C

Passo 10

Agora, vamos repetir o cálculo substituindo o cosseno pelo seno, ou seja, calcular integral e^ax sin(bx) , dx .

Passo 11

Seguindo um processo similar, após aplicar integração por partes duas vezes e resolver para a integral, obtemos:
integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 ( a sin(bx) - b cos(bx) ) + C

Resposta

A primitiva da função f(x) = e^ax cos(bx) é:
integral e^ax cos(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 ( a cos(bx) + b sin(bx) ) + C
E a primitiva substituindo o cosseno pelo seno é:
integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 ( a sin(bx) - b cos(bx) ) + C

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