Calcule a função característica, a média e a variância da variável aleatória contínua X representada pela distribuição uniforme cuja função densidade de probabilidade (PDF) é:
p(x)=12 a para (m-a), e p(x)=0 em qualquer outro caso.

Passo 1

A variável aleatória X é contínua e segue distribuição uniforme no intervalo (m - a,,m + a) com densidade p(x)=1/(2a). O conteúdo é distribuição uniforme contínua e vamos precisar usar as definições de esperança, variância e função característica.

Passo 2

Para calcular a média e a variância, usamos as definições E[X]=integralm-a^m+a x,p(x),dx e Var(X)=E[X^2]-[E[X]]^2. Ao calcular E[X] (ou reconhecer a simetria do intervalo em torno de m), obtemos:
E[X]=m
Em seguida, para E[X^2] fazemos
E[X^2]=12aintegralm-a^m+ax^2,dx= rac(m+a)^3-(m-a)^36a=m^2+a^23
Logo,
Var(X)=E[X^2]-m^2=a^23

Passo 3

Para a função característica, definimos
phiX(t)=E[e^i t X]=integralm-a^m+ae^i t x,p(x),dx
e calculamos:
phiX(t)=12ae^i t (m+a)-e^i t (m-a)i t=e^i m tsin(a t)a t

Resposta

Função característica: phiX(t)=e^i m t,sin(a t)a t; Média: m; Variância: a^2/3.

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