Você convidou 64 convidados para uma festa. Você precisa fazer sanduíches para os convidados. Você acredita que um convidado pode precisar de 0,1 ou 2 sanduíches com probabilidades 14, 12 e 14, respectivamente. Você assume que o número de sanduíches que cada hóspede precisa é independente dos outros hóspedes. Quantos sanduíches você deve fazer para que você tenha 95% de certeza de que não haverá escassez?

Passo 1

O enunciado pede o número de sanduíches que devemos fazer para 64 convidados, sabendo que cada convidado consome 0, 1 ou 2 sanduíches com probabilidades 1/4, 1/2 e 1/4 respectivamente e de forma independente. O conteúdo usado será o Teorema do Limite Central para aproximar a soma dessas variáveis.

Passo 2

Chamando Xi o número de sanduíches do i-ésimo convidado, temos as probabilidades dadas. Primeiro calculamos a esperança e a variância de Xi:
E[Xi]=0cdot14+1cdot12+2cdot14=1,
E[Xi^2]=0^2cdot14+1^2cdot12+2^2cdot14=1.5,
Var(Xi)=E[Xi^2]-l(E[Xi]r)^2=1.5-1^2=0.5

Passo 3

Para a soma S=sumi=1^64Xi, temos
E[S]=64cdot1=64,
Var(S)=64cdot0.5=32,
sigmaS=raiz32approx5.657
Pelo Teorema do Limite Central, S é aproximadamente normal N(64,32).

Passo 4

Queremos o menor s tal que
P(S<= s)>=0.95
Usamos a aproximação
P(S<= s)approxPhil(s-645.657r)=0.95,
onde Phi^-1(0.95)approx1.645. Incluindo correção de continuidade de +0.5, temos
Substituindo,
sapprox64+1.645times5.657+0.5approx64+9.31+0.5=73.81
Como precisamos de um número inteiro de sanduíches e garantir pelo menos 95% de chance de não faltar, arredondamos para cima.

Passo 5

Concluímos que devemos preparar 74 sanduíches para ter 95% de certeza de não faltar.

Resposta

74 sanduíches

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