O objetivo neste problema é provar o teorema do limite central usando funções geradoras de momento.
Em particular, sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias i.i.d com valor esperado MX(s) [-c, c], e funções geradoras de momento c>0 que é finito em algum intervalo Zn=barX-musigma / raizn=X1+X2+cdots+Xn-n muraizn sigma , onde lim n infty MZn(s)=e^s^22, para todo s in[-c, c] é uma constante. Considere
Zn
Prove
Uma vez que este é a funções geradoras de momento de uma variável aleatória normal padrão, concluímos que a distribuição de converge para a variável aleatória normal padrão.
Dica:
Calcule o limite usando L’Hopital.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando funções geradoras de momento, que para variáveis i.i.d. X₁,…,Xₙ com E[Xᵢ]=μ e Var(Xᵢ)=σ²<∞ a padronização
Zₙ=(∑_{i=1}^n Xᵢ − nμ)/(σ√n)
teve sua MGF M_{Zₙ}(s) convergindo para e^{s²/2} em s∈[−c,c]. Vamos usar expansão em torno de zero da MGF M_X(s).

Passo 2

Definimos a MGF de Zₙ e reescrevemos em termos de M_X:
Usando Zₙ=(∑Xᵢ−nμ)/(σ√n) segue
[
M_{Zₙ}(s)=E\bigl[e^{sZₙ}\bigr]=E\Bigl[\exp\frac{s(∑Xᵢ−nμ)}{σ√n}\Bigr]
=\exp\Bigl(−\frac{s nμ}{σ√n}\Bigr)\Bigl(M_X\bigl(\tfrac{s}{σ√n}\bigr)\Bigr)^n.

Passo 3

Tomamos o logaritmo de M_{Zₙ}(s):
ln MZₙ(s)=nln MXl(sσ√nr)−s nμσ√n

Passo 4

Para t→0 podemos usar a expansão em série de M_X(t) e de ln M_X(t):
MX(t)=1+μt+E[X²]t²2+o(t²), ²²²
e como E[X²]=Var(X)+[E[X]]²=σ²+μ² segue
ln MX(t)=μt+σ²t²2+o(t²) ²²²

Passo 5

Substituímos t=s/(σ√n) na expressão de ln M_{Zₙ}(s):
ln MZₙ(s)=nl[μt+σ²t²2+o(t²)r]t=!s/(σ√n)−sμ√nσ ²²²
Note que μt·n=μs√n/σ cancela com o segundo termo, e o termo quadratic em t dá
n·σ²2l(sσ√nr)^2=s²2+o(1) ²²
Logo
ln MZₙ(s)tos²2, ²
quando n→∞.

Passo 6

Exponenciando o limite do logaritmo concluímos
MZₙ(s)to e^s²/2, ²
para todo s em [−c,c], o que prova o Teorema do Limite Central via funções geradoras de momento.

Resposta

e{s{2}/2}

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