O objetivo neste problema é provar o teorema do limite central usando funções geradoras de momento.
Em particular, sejam
variáveis aleatórias i.i.d com valor esperado
, e funções geradoras de momento
que é finito em algum intervalo
, onde
é uma constante. Considere
Prove
Uma vez que este é a funções geradoras de momento de uma variável aleatória normal padrão, concluímos que a distribuição de
converge para a variável aleatória normal padrão.
Dica:
Calcule o limite
usando L’Hopital.
Dica:
Calcule o limite
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando funções geradoras de momento, que para variáveis i.i.d. X₁,…,Xₙ com E[Xᵢ]=μ e Var(Xᵢ)=σ²<∞ a padronização
Zₙ=(∑_{i=1}^n Xᵢ − nμ)/(σ√n)
teve sua MGF M_{Zₙ}(s) convergindo para e^{s²/2} em s∈[−c,c]. Vamos usar expansão em torno de zero da MGF M_X(s).
Zₙ=(∑_{i=1}^n Xᵢ − nμ)/(σ√n)
teve sua MGF M_{Zₙ}(s) convergindo para e^{s²/2} em s∈[−c,c]. Vamos usar expansão em torno de zero da MGF M_X(s).
Passo 2
Definimos a MGF de Zₙ e reescrevemos em termos de M_X:
Usando Zₙ=(∑Xᵢ−nμ)/(σ√n) segue
Usando Zₙ=(∑Xᵢ−nμ)/(σ√n) segue
[
M_{Zₙ}(s)=E\bigl[e^{sZₙ}\bigr]=E\Bigl[\exp\frac{s(∑Xᵢ−nμ)}{σ√n}\Bigr]
=\exp\Bigl(−\frac{s nμ}{σ√n}\Bigr)\Bigl(M_X\bigl(\tfrac{s}{σ√n}\bigr)\Bigr)^n.
M_{Zₙ}(s)=E\bigl[e^{sZₙ}\bigr]=E\Bigl[\exp\frac{s(∑Xᵢ−nμ)}{σ√n}\Bigr]
=\exp\Bigl(−\frac{s nμ}{σ√n}\Bigr)\Bigl(M_X\bigl(\tfrac{s}{σ√n}\bigr)\Bigr)^n.
Passo 3
Tomamos o logaritmo de M_{Zₙ}(s):
Passo 4
Para t→0 podemos usar a expansão em série de M_X(t) e de ln M_X(t):
e como E[X²]=Var(X)+[E[X]]²=σ²+μ² segue
Passo 5
Substituímos t=s/(σ√n) na expressão de ln M_{Zₙ}(s):
Note que μt·n=μs√n/σ cancela com o segundo termo, e o termo quadratic em t dá
Logo
quando n→∞.
Passo 6
Exponenciando o limite do logaritmo concluímos
para todo s em [−c,c], o que prova o Teorema do Limite Central via funções geradoras de momento.
Resposta
e{s{2}/2}