Seja
uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade (PDF) é
. Suponha que
é uma função unívoca de
(monotonamente crescente ou decrescente) e que
. Seja
a função inversa de
. Mostre que se verifica:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o conceito de transformação de variáveis, como passar do PDF de uma variável contínua X para o PDF da variável Y=g(X), sabendo que g é monotônica (tem inversa x(y)).
Passo 2
A forma mais direta é via funções de distribuição acumulada (CDF). Primeiro lembramos que para Y=g(X) monotônica crescente temos
Se g for decrescente, então F_Y(y)=P(X\ge x(y))=1-F_X(x(y)).
Passo 3
Agora diferenciamos em relação a y. No caso crescente,
e, pela regra da cadeia,
Passo 4
Para englobar o caso decrescente e manter o PDF não negativo, inserimos o valor absoluto na derivada da inversa. Assim obtemos a forma geral