Seja X uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade (PDF) é pX(x). Suponha que y(x) é uma função unívoca de x (monotonamente crescente ou decrescente) e que Y=g(X). Seja x(y) a função inversa de y(x). Mostre que se verifica: pY(y)= .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o conceito de transformação de variáveis, como passar do PDF de uma variável contínua X para o PDF da variável Y=g(X), sabendo que g é monotônica (tem inversa x(y)).

Passo 2

A forma mais direta é via funções de distribuição acumulada (CDF). Primeiro lembramos que para Y=g(X) monotônica crescente temos
FY(y)=P(Y<= y)=P(g(X)<= y)=P(X<= x(y))=FXl(x(y)r)
Se g for decrescente, então F_Y(y)=P(X\ge x(y))=1-F_X(x(y)).

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a y. No caso crescente,
pY(y)=ddyFY(y)=ddyFXl(x(y)r)
e, pela regra da cadeia,
pY(y)=F'Xl(x(y)r)cdot x'(y)=pXl(x(y)r),x'(y)

Passo 4

Para englobar o caso decrescente e manter o PDF não negativo, inserimos o valor absoluto na derivada da inversa. Assim obtemos a forma geral
pY(y)=pXl(x(y)r),l|x'(y)r|

Resposta

pY(y)=pXl(x(y)r),l|x'(y)r|

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