Calcule a função
, determine seu domínio e represente-o no plano
.
e
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a composição das funções de duas variáveis definidas por f(t)=1/√t e g(x,y)=x²−y², ou seja, achar (f∘g)(x,y) e determinar seu domínio em ℝ². Conteúdo: composição de funções e estudo de domínio.
Passo 2
Para compor f com g, substituímos t por g(x,y) dentro de f. Assim temos:
Passo 3
Agora vamos achar o domínio. A função f(t)=1/√t exige que t>0 (raiz real) e que t≠0 (não pode dividir por zero). Logo precisamos de
Passo 4
Interpretando geometricamente, a condição x²−y²>0 define no plano a região fora das retas y=±x, isto é, a união das partes onde x>|y| e onde x<−|y|. Esses são os dois ramos abertos da hipérbole.
Passo 5
Representação no plano: desenha-se as assimptotas y=±x e as regiões externas a elas (sem incluir as linhas). Essa é a área onde (f∘g)(x,y) está bem definida.