Calcule a função (f circ g)(x, y), determine seu domínio e represente-o no plano (R^2).
f(t)=1raizt e g(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a composição das funções de duas variáveis definidas por f(t)=1/√t e g(x,y)=x²−y², ou seja, achar (f∘g)(x,y) e determinar seu domínio em ℝ². Conteúdo: composição de funções e estudo de domínio.

Passo 2

Para compor f com g, substituímos t por g(x,y) dentro de f. Assim temos:
(fcirc g)(x,y)=fl(g(x,y)r)=1raizg(x,y)=1raizx^2 - y^2

Passo 3

Agora vamos achar o domínio. A função f(t)=1/√t exige que t>0 (raiz real) e que t≠0 (não pode dividir por zero). Logo precisamos de
x^2 - y^2 > 0

Passo 4

Interpretando geometricamente, a condição x²−y²>0 define no plano a região fora das retas y=±x, isto é, a união das partes onde x>|y| e onde x<−|y|. Esses são os dois ramos abertos da hipérbole.

Passo 5

Representação no plano: desenha-se as assimptotas y=±x e as regiões externas a elas (sem incluir as linhas). Essa é a área onde (f∘g)(x,y) está bem definida.

Resposta

(fcirc g)(x,y)=1raizx^2 - y^2; domínio = {(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2>0})

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