O que se pede é a função comprimento do arco associada a \alpha. Ou seja, encontrar a função s(t) que dá o comprimento do arco percorrido pela curva desde um ponto inicial t_0 até t:
Vou calcular \alpha'(t), o módulo \lVert\alpha'(t)\rVert (a velocidade) e integrar para obter s(t). Ao final escolherei t_0=0 para fixar a constante de integração e ter s(0)=0 (caso prefira outro ponto inicial, é só trocar t_0).
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada componente a componente. Lembrando duas regras essenciais que vou usar e explicar:
Derivada da função hiperbólica: a derivada de \operatorname{cosh} x é \senh x; a derivada de \senh x é \operatorname{cosh} x.
Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)) então f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
(Se quiser ver de onde vem \operatorname{cosh} e \senh: \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2, \senh x=(e^{x}-e^{-x})/2, daí derivadas e identidades anteriores seguem diretamente.)
Passo 4
A função comprimento do arco a partir de um ponto t_0 é
Para integrar \operatorname{cosh} 3u usamos que a primitiva de \operatorname{cosh} x é \senh x e a regra da cadeia dá um fator 1/3 ao integrar \operatorname{cosh} 3u. Assim
\int \operatorname{cosh} 3u\,du = \frac{1}{3}\senh 3u + C.
Escolhendo o ponto inicial t_0=0 para que s(0)=0 (escolha comum e conveniente), e lembrando que \senh 0=0, obtemos a forma mais usada da função comprimento:
s(t)=2\sqrt{2}\,\senh 3t.
Essa função dá o comprimento do arco da curva \alpha desde t=0 até o parâmetro t. Note que s(t)\ge 0 e cresce com t na mesma taxa controlada por \senh 3t.