Calcule a função comprimento do arco das curvas:
\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=(2 \operatorname{cosh} 3 t,-2 \operatorname{senh} 3 t, 6 t)

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t) = \bigl(2\operatorname{cosh} 3t,\,-2\senh 3t,\,6t\bigr).
O que se pede é a função comprimento do arco associada a \alpha. Ou seja, encontrar a função s(t) que dá o comprimento do arco percorrido pela curva desde um ponto inicial t_0 até t:
s(t)=\int_{t_0}^{t} \bigl\lVert \alpha'(u)\bigr\rVert\,du.
Vou calcular \alpha'(t), o módulo \lVert\alpha'(t)\rVert (a velocidade) e integrar para obter s(t). Ao final escolherei t_0=0 para fixar a constante de integração e ter s(0)=0 (caso prefira outro ponto inicial, é só trocar t_0).

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada componente a componente. Lembrando duas regras essenciais que vou usar e explicar:
  • Derivada da função hiperbólica: a derivada de \operatorname{cosh} x é \senh x; a derivada de \senh x é \operatorname{cosh} x.
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)) então f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Agora aplicando isso às componentes de \alpha(t):
  • Para x_1(t)=2\operatorname{cosh} 3t: derivada x_1'(t)=2\cdot (\senh 3t)\cdot 3 = 6\senh 3t.
  • Para x_2(t)=-2\senh 3t: derivada x_2'(t)=-2\cdot (\operatorname{cosh} 3t)\cdot 3 = -6\operatorname{cosh} 3t.
  • Para x_3(t)=6t: derivada x_3'(t)=6.
Logo
\alpha'(t)=\bigl(6\senh 3t,\,-6\operatorname{cosh} 3t,\,6\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da norma (módulo) da derivada:
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=(6\senh 3t)^{2}+(-6\operatorname{cosh} 3t)^{2}+6^{2}.
Desenvolvendo:
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=36\bigl(\senh^{2}3t+\operatorname{cosh}^{2}3t\bigr)+36.
Para simplificar usamos identidades hiperbólicas. Uma identidade útil é
\operatorname{cosh} 2x=\operatorname{cosh}^{2}x+\senh^{2}x,
e outra é
\operatorname{cosh} 2x=2\operatorname{cosh}^{2}x-1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{cosh} 2x+1=2\operatorname{cosh}^{2}x.
Aplicando com x=3t, obtemos \senh^{2}3t+\operatorname{cosh}^{2}3t=\operatorname{cosh} 6t e
\operatorname{cosh} 6t+1=2\operatorname{cosh}^{2}3t. Assim
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=36\operatorname{cosh} 6t +36 =36(\operatorname{cosh} 6t+1)=36\cdot 2\operatorname{cosh}^{2}3t=72\operatorname{cosh}^{2}3t.
Como \operatorname{cosh} 3t>0 para todo t, extraímos a raiz:
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert = \sqrt{72}\,\operatorname{cosh} 3t = 6\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} 3t.
(Se quiser ver de onde vem \operatorname{cosh} e \senh: \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2, \senh x=(e^{x}-e^{-x})/2, daí derivadas e identidades anteriores seguem diretamente.)

Passo 4

A função comprimento do arco a partir de um ponto t_0 é
s(t)=\int_{t_0}^{t} \bigl\lVert \alpha'(u)\bigr\rVert\,du = \int_{t_0}^{t} 6\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} 3u \,du.
Para integrar \operatorname{cosh} 3u usamos que a primitiva de \operatorname{cosh} x é \senh x e a regra da cadeia dá um fator 1/3 ao integrar \operatorname{cosh} 3u. Assim
\int \operatorname{cosh} 3u\,du = \frac{1}{3}\senh 3u + C.
Logo
s(t)=6\sqrt{2}\cdot\frac{1}{3}\bigl(\senh 3t-\senh 3t_0\bigr)=2\sqrt{2}\,\bigl(\senh 3t-\senh 3t_0\bigr).

Passo 5

Escolhendo o ponto inicial t_0=0 para que s(0)=0 (escolha comum e conveniente), e lembrando que \senh 0=0, obtemos a forma mais usada da função comprimento:
s(t)=2\sqrt{2}\,\senh 3t.
Essa função dá o comprimento do arco da curva \alpha desde t=0 até o parâmetro t. Note que s(t)\ge 0 e cresce com t na mesma taxa controlada por \senh 3t.

Resposta

s(t)=2\sqrt{2}\,\senh 3t (com s(0)=0).

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