Calcule a função derivada da função abaixo:
f(x)=(1x)^1x
para x>0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(tfrac1xr)^tfrac1x para x>0.
O conteúdo envolve reescrever potências em termos de exponencial natural e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=l(tfrac1xr)^tfrac1x
como exponencial. Definimos
g(x)=tfrac1x,lnl(tfrac1xr),
de modo que
f(x)=e^g(x)

Passo 3

Simplificamos g(x) usando ln(1/x)=-ln(x):
g(x) = tfrac1xl(-ln(x)r) = -ln(x)x

Passo 4

Calculamos g'(x) pela regra do quociente em -ln(x)x. Como (ln(x))'=tfrac1x,
g'(x) = -xcdot1x - ln(x)cdot1x^2 = -1-ln(x)x^2 = ln(x)-1x^2

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia à função composta f(x)=e^g(x):
f'(x)=e^g(x);g'(x)
Substituindo e^g(x)=l(tfrac1xr)^tfrac1x e g'(x)=ln(x)-1x^2 obtém-se a forma final.

Resposta

f'(x) = (1x)^1x ,ln(x)-1x^2

Exercícios relacionados