Considere a curva
sen(y+x^2)=pi2-y+2 x+1
e calcule:
a derivada y^prime=d yd x;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
sinl(y + x^2r) = pi2 - y + 2x + 1
O conteúdo aqui é derivação implícita de funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia para sin e recolhendo os termos que contêm y'.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Do lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia: se
u(x,y)=y+x^2,
então
ddxl[sin(u)r] = cos(u),dudx = cosl(y+x^2r),l(y' + 2xr)
Do lado direito, pi2 e 1 são constantes, ddx(-y)=-y' e ddx(2x)=2. Logo
ddxl(pi2-y+2x+1r) = -y' + 2

Passo 3

Igualando as derivadas:
cosl(y + x^2r),(y' + 2x) = -y' + 2
Expandindo no lado esquerdo e recolhendo y' em um único membro, obtemos
cosl(y + x^2r),y' + 2x,cosl(y + x^2r) = -y' + 2
l[cos(y + x^2) + 1r],y' = 2 - 2x,cos(y + x^2)

Passo 4

Isolando y', dividimos ambos os lados por cos(y + x^2) + 1, chegando a
y' = 2 - 2x,cosl(y + x^2r)cosl(y + x^2r) + 1

Resposta

y' = 2 - 2x,cosl(y + x^2r)cosl(y + x^2r) + 1

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