Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=(x^2-1) cdot ln (x), em (1,0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função
f(x) = (x^2 - 1),ln(x)
no ponto (1,0). Vamos usar derivada de produto e derivada de ln(x). Para montar a reta tangente precisamos de f(1) (já é 0) e da inclinação f'(1).

Passo 2

Calcular f'(x) pela regra do produto. Seja
u(x) = x^2 - 1, v(x) = ln(x)
Então
u'(x) = 2x, v'(x) = 1x,
e
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 2x,ln(x) + (x^2 - 1),1x
Simplificando,
f'(x) = 2x,ln(x) + x - 1x

Passo 3

Avaliar f'(1). Como ln(1)=0, temos
f'(1) = 2cdot1cdot0 + 1 - 1 = 0
Logo a inclinação da reta tangente em x=1 é m=0.

Passo 4

A equação da reta tangente com coeficiente angular m em (x0,y0) é
y - y0 = m,(x - x0)
Aqui m=0 e (x0,y0)=(1,0), então
y - 0 = 0,(x - 1) Longrightarrow y = 0

Resposta

A reta tangente é
y = 0

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