Considere a curva
sen(y+x^2)=pi2-y+2 x+1
e calcule:
a reta tangente à curva no ponto (0, pi2).

Passo 1

O enunciado dá a curva
sinl(y + x^2r) ;=;pi2 - y + 2x + 1
e pede a reta tangente a essa curva no ponto l(0,tfracpi2r).
O conteúdo principal é derivação implícita: vamos definir uma função F(x,y) cuja zero corresponde à curva e então usar
dydx ;=;-,FxFy

Passo 2

Definimos
F(x,y)=sinl(y+x^2r);-;l(tfracpi2-y+2x+1r)
Calculamos as derivadas parciais:
Fx = partialpartial xsinl(y+x^2r);-;partialpartial xl(tfracpi2-y+2x+1r) =2xcosl(y+x^2r);-;2,
Fy = partialpartial ysinl(y+x^2r);-;partialpartial yl(tfracpi2-y+2x+1r) =cosl(y+x^2r);+;1

Passo 3

Pela derivação implícita,
dydx =-,FxFy =-,2xcos(y+x^2)-2cos(y+x^2)+1

Passo 4

No ponto l(0,tfracpi2r) temos x=0, y=tfracpi2 e y+x^2=tfracpi2, logo cos(tfracpi2)=0.
Substituindo:
Fx(0,tfracpi2)=2cdot0cdot0-2=-2, Fy(0,tfracpi2)=0+1=1,
dydx|(0,pi/2)=-,-21=2

Passo 5

A reta tangente em l(0,tfracpi2r) tem equação ponto-reta
y - pi2 = 2,(x-0)
ou seja

Resposta

boxedy = 2x + pi2

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