Calcule a função derivada das funções abaixo:
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
para
. Vamos utilizar conceitos de derivadas, exponenciais e logaritmos para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
é a função exponencial com base
. Além disso, temos um logaritmo de base 5 aplicado a
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Para simplificar, podemos usar a mudança de base do logaritmo. A fórmula da mudança de base é:
Aplicando isso à nossa função, temos:
E como
, então:
Passo 4
Substituindo de volta na função original, ficamos com:
Agora a função está escrita como uma exponencial com base 2 e expoente
.
Passo 5
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia para funções exponenciais. A derivada de
é:
Aqui,
e
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso:
Resposta
A derivada da função é: