Calcule a função derivada das funções abaixo:
f(x)=(2)^log 5(e^x) para x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = 2^log5(e^x) para x neq 0 . Vamos utilizar conceitos de derivadas, exponenciais e logaritmos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que e^x é a função exponencial com base e . Além disso, temos um logaritmo de base 5 aplicado a e^x . Então, nossa função fica:
f(x) = 2^log5(e^x)

Passo 3

Para simplificar, podemos usar a mudança de base do logaritmo. A fórmula da mudança de base é:
loga b = ln bln a
Aplicando isso à nossa função, temos:
log5(e^x) = ln(e^x)ln 5
E como ln(e^x) = x , então:
log5(e^x) = xln 5

Passo 4

Substituindo de volta na função original, ficamos com:
f(x) = 2^xln 5
Agora a função está escrita como uma exponencial com base 2 e expoente xln 5 .

Passo 5

Para derivar f(x) = 2^xln 5 , vamos usar a regra da cadeia para funções exponenciais. A derivada de a^u(x) é:
ddx a^u(x) = a^u(x) cdot ln a cdot u'(x)
Aqui, a = 2 e u(x) = xln 5 .

Passo 6

Agora, vamos calcular u'(x) :
u(x) = xln 5 Rightarrow u'(x) = 1ln 5

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 2^xln 5 cdot ln 2 cdot 1ln 5
Podemos simplificar isso:
f'(x) = ln 2ln 5 cdot 2^xln 5

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = ln 2ln 5 cdot 2^xln 5

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