Resolva as integrais:
integral cotg^3(4 x) csc ^5(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral cotg^3(4x),csc^5(4x),dx
Este é um problema de integração de potências de funções trigonométricas; para resolvê-lo vamos usar uma substituição que transforme a parte complicada em um polinômio.

Passo 2

Separe uma cópia de cotg(4x),csc(4x),dx para usar a derivada de csc(4x). Note que
csc^5(4x)=csc^4(4x),csc(4x),
portanto
integral cotg^3(4x),csc^5(4x),dx =integral cotg^2(4x),csc^4(4x),l[cotg(4x),csc(4x),dxr]

Passo 3

Faça a substituição
v = csc(4x),
cuja diferencial é
dv = dl(csc(4x)r) = -4,csc(4x),cotg(4x),dx Longrightarrow cotg(4x),csc(4x),dx = -tfrac14,dv
Além disso, pela identidade
1+cotg^2(alpha)=csc^2(alpha),
temos
cotg^2(4x)=csc^2(4x)-1 = v^2-1, csc^4(4x)=v^4

Passo 4

Substituindo tudo em v, o integral vira
integral cotg^3(4x),csc^5(4x),dx = integral (v^2 - 1),v^4,l(-tfrac14,dvr) = -tfrac14 integral (v^6 - v^4),dv

Passo 5

Agora integre em v:
-tfrac14 integral (v^6 - v^4),dv = -tfrac14l(tfracv^77 - tfracv^55r) + C = -tfrac128,v^7 + tfrac120,v^5 + C

Passo 6

Retornando a x pela substituição v=csc(4x), obtemos
-tfrac128,csc^7(4x) + tfrac120,csc^5(4x) + C

Resposta

-tfrac128,csc^7(4x) + tfrac120,csc^5(4x) + C

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