Resolva as integrais:
integral tg^3 xsec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3xsec x,dx,
ou seja, integração de funções trigonométricas envolvendo potências de tan x e sec x. Vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e reconhecer derivadas de funções como sec x e cos x.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando sec x=1/cos x e tan^2x=sec^2x-1. Assim,
tan^3xsec x =tan^3xcos x =l(tan^2xr)l(tan xcos xr) =(sec^2x-1),sin x

Passo 3

A integral vira
integral tan^3xsec x,dx =integral l(sec^2xsin x - sin xr),dx =integral sec^2xsin x,dx ;-;integral sin x,dx

Passo 4

Agora integramos cada parcela separadamente.
  1. Para integral sec^2xsin x,dx note que
sec^2xsin x =sin xcos^2x =sec xtan x,
e sabemos que ddx(sec x)=sec xtan x. Logo
integral sec^2xsin x,dx =integral sec xtan x,dx =sec x
  1. Para integral sin x,dx temos a primitiva clássica
integral sin x,dx = -cos x

Passo 5

Juntando os resultados,
integral tan^3xsec x,dx =sec x -(-cos x) + C =sec x + cos x + C

Resposta

boxedsec x + cos x + C

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