Resolva as integrais:
integral tg^3(ln x) sec ^6(ln x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a integral
integral tg^3(ln x),sec^6(ln x)x,dx
O conteúdo envolve substituição logarítmica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Use a substituição t = ln x. Então dt = tfracdxx, e a integral fica
integral tan^3 t ,sec^6 t ,dt

Passo 3

Empregamos a identidade tan^2 t = sec^2 t -1 para reescrever o integrando:
tan^3 t,sec^6 t = tan t,tan^2 t,sec^6 t = tan t,(sec^2 t -1),sec^6 t = tan t,sec^8 t ;-; tan t,sec^6 t

Passo 4

A integral se separa em
integral tan^3 t,sec^6 t,dt = integral tan t,sec^8 t,dt ;-; integral tan t,sec^6 t,dt
Em cada parte usamos a substituição u=sec t, pois du=sec t,tan t,dt.

Passo 5

Para a primeira integral:
integral tan t,sec^8 t,dt = integral sec^7 t,(sec t,tan t,dt) = integral u^7,du = u^88 = sec^8 t8
Para a segunda:
integral tan t,sec^6 t,dt = integral sec^5 t,(sec t,tan t,dt) = integral u^5,du = u^66 = sec^6 t6

Passo 6

Subtraindo e voltando à variável x, obtemos
integral tg^3(ln x),sec^6(ln x)x,dx = sec^8(ln x)8 - sec^6(ln x)6 + C

Resposta

sec^8(ln x)8 ;-; sec^6(ln x)6 + C

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