Calcule a reta tangente ao gráfico da função f(x)=-artan(2-x) que é paralela à reta y=x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x) = -arctan(2 - x) e pede a reta tangente ao seu gráfico que seja paralela à reta y = x. Para isso, vamos (i) calcular a derivada f'(x), (ii) impor f'(x)=1 para igualar o coeficiente angular ao de y=x, (iii) achar o ponto de tangência (x0,f(x0)) e (iv) montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Calcular f'(x). Como ddxl[arctan(u)r]=u'1+u^2 e aqui u=2-x com u'=-1, temos
f'(x)=-ddxl[arctan(2-x)r] =--11+(2-x)^2 =11+(2-x)^2

Passo 3

Impor f'(x)=1:
11+(2-x)^2=1 Longrightarrow 1+(2-x)^2=1 Longrightarrow (2-x)^2=0 Longrightarrow x=2

Passo 4

Calcular y0=f(2):
y0 = -arctan(2-2) = -arctan(0) = 0
O ponto de tangência é (2,0). Com coeficiente angular 1, a equação da reta tangente é
y - 0 = 1,(x - 2) Longrightarrow y = x - 2

Resposta

A reta tangente é y = x - 2.

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