Calcule a função derivada das funções abaixo:
f(x)=(x)^1x para x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x^1x, x>0
O conteúdo principal é derivação de função definida em potência com variável tanto na base quanto no expoente. Vamos usar logaritmo e diferenciação implícita (log-diferenciação).

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar:
ln f(x) = lnl(x^1xr) = 1x,ln x

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, aplica-se a derivada de ln f(x) que é f'(x)/f(x). No direito, usamos a regra do produto em
1xln x:
f'(x)f(x) = ddxl(1xr)ln x + 1x,ddx(ln x) = l(-1x^2r)ln x + 1xcdot1x

Passo 4

Simplificando o lado direito:
f'(x)f(x) = -ln xx^2 + 1x^2 = 1 - ln xx^2
Multiplicando ambos os lados por f(x) obtemos
f'(x) = f(x),1 - ln xx^2

Passo 5

Substituindo f(x)=x^1/x, a forma final da derivada é
f'(x) = x^1x,1 - ln xx^2

Resposta

f'(x) = x^1x;1 - ln xx^2, x>0

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