Calcule a reta tangente à curva definida pela equação
sen(y+x^2)=pi2-y+1
no ponto (0, pi2).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
sinl(y + x^2r) = pi2 - y + 1
e pede a reta tangente no ponto l(0,tfracpi2r). O conteúdo necessário é diferenciação implícita para encontrar y' e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x:
ddxl[sin(y + x^2)r] = ddxl[pi2 - y + 1r]
Pelo lado esquerdo, uso a regra da cadeia:
cosl(y + x^2r),l(y' + 2xr)
Pelo lado direito, pi2+1 são constantes e derivam zero, e -y -y'. Logo
cosl(y + x^2r),(y' + 2x) = -y'

Passo 3

Agrupando os termos com y':
cosl(y + x^2r),y' + 2xcosl(y + x^2r) = -y' ;Longrightarrow; y'l[cos(y + x^2) + 1r] = -2xcos(y + x^2)
Isolando y':
y' = -2xcosl(y + x^2r)cosl(y + x^2r) + 1

Passo 4

No ponto l(0,tfracpi2r) temos x=0 e y=tfracpi2, então
cosl(y + x^2r) = cos!l(tfracpi2+0r) = 0,
e
y' = -2cdot 0 cdot 00 + 1 = 0
Assim, a inclinação da reta tangente é m=0.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto l(0,y0r) com inclinação m é
y - y0 = m,(x - 0)
Aqui y0=tfracpi2 e m=0, logo
y - tfracpi2 = 0cdot x ;Longrightarrow; y = tfracpi2

Resposta

A reta tangente é
y = pi2

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